関数 $f(x) = x^2 \log x$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 \log x$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べ、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 定義域を確認する。$\log x$ が定義されるためには $x > 0$ が必要。よって、定義域は $x>0$。

(2) 導関数を求める。

$f'(x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2\log x + 1)$

$f''(x) = 2 \log x + 1 + x \cdot \frac{2}{x} = 2 \log x + 3$

(3) 増減を調べる。$f'(x) = 0$ を解く。

$x(2\log x + 1) = 0$

$x>0$ より、 $2\log x + 1 = 0$

$\log x = -\frac{1}{2}$

$x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

$f'(x)$ の符号を調べる。

$0 < x < \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、$2 \log x + 1 < 0$ より $f'(x) < 0$ (減少)。

$x > \frac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、$2 \log x + 1 > 0$ より $f'(x) > 0$ (増加)。

(4) 極値を求める。

$x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ で極小値をとる。

極小値は $f(\frac{1}{\sqrt{e}}) = (\frac{1}{\sqrt{e}})^2 \log (\frac{1}{\sqrt{e}}) = \frac{1}{e} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2e}$

(5) 凹凸を調べる。$f''(x) = 0$ を解く。

$2 \log x + 3 = 0$

$\log x = -\frac{3}{2}$

$x = e^{-3/2} = \frac{1}{e\sqrt{e}}$

$f''(x)$ の符号を調べる。

$0 < x < \frac{1}{e\sqrt{e}}$ のとき、$2 \log x + 3 < 0$ より $f''(x) < 0$ (上に凸)。

$x > \frac{1}{e\sqrt{e}}$ のとき、$2 \log x + 3 > 0$ より $f''(x) > 0$ (下に凸)。

(6) 変曲点を求める。

$x = \frac{1}{e\sqrt{e}}$ で変曲点を持つ。

変曲点のy座標は、$f(\frac{1}{e\sqrt{e}}) = (\frac{1}{e\sqrt{e}})^2 \log(\frac{1}{e\sqrt{e}}) = \frac{1}{e^3} \cdot (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2e^3}$

(7) $\lim_{x \to +0} f(x)$ を調べる。

$\lim_{x \to +0} x^2 \log x = 0$

(8) グラフを描く。

上記の情報から、グラフの概形を描く。

3. 最終的な答え

- 定義域: $x>0$

- $f'(x) = x(2\log x + 1)$

- $f''(x) = 2\log x + 3$

- 極小値: $x = \frac{1}{\sqrt{e}}$ で $f(x) = -\frac{1}{2e}$

- 変曲点: $x = \frac{1}{e\sqrt{e}}$ で $f(x) = -\frac{3}{2e^3}$

- $\lim_{x \to +0} f(x) = 0$

- 増減表、凹凸表を作成し、それに基づいてグラフを描く。