定積分 $S = \int_{\beta}^{\alpha} (ax - a + 4 - 2x^2) dx$ を計算する問題です。解析学定積分積分不定積分数式処理2025/7/141. 問題の内容定積分 S=∫βα(ax−a+4−2x2)dxS = \int_{\beta}^{\alpha} (ax - a + 4 - 2x^2) dxS=∫βα(ax−a+4−2x2)dx を計算する問題です。2. 解き方の手順まず、積分の中身を整理し、積分を実行します。S=∫βα(ax−a+4−2x2)dxS = \int_{\beta}^{\alpha} (ax - a + 4 - 2x^2) dxS=∫βα(ax−a+4−2x2)dx各項を個別に積分します。∫ax dx=12ax2+C\int ax \, dx = \frac{1}{2}ax^2 + C∫axdx=21ax2+C∫−a dx=−ax+C\int -a \, dx = -ax + C∫−adx=−ax+C∫4 dx=4x+C\int 4 \, dx = 4x + C∫4dx=4x+C∫−2x2 dx=−23x3+C\int -2x^2 \, dx = -\frac{2}{3}x^3 + C∫−2x2dx=−32x3+Cこれらをまとめると、∫(ax−a+4−2x2)dx=12ax2−ax+4x−23x3+C\int (ax - a + 4 - 2x^2) dx = \frac{1}{2}ax^2 - ax + 4x - \frac{2}{3}x^3 + C∫(ax−a+4−2x2)dx=21ax2−ax+4x−32x3+C定積分の計算を行うには、上記の不定積分の結果に積分区間 α\alphaα と β\betaβ を代入し、差を求めます。S=[12ax2−ax+4x−23x3]βαS = \left[ \frac{1}{2}ax^2 - ax + 4x - \frac{2}{3}x^3 \right]_{\beta}^{\alpha}S=[21ax2−ax+4x−32x3]βαS=(12aα2−aα+4α−23α3)−(12aβ2−aβ+4β−23β3)S = \left( \frac{1}{2}a\alpha^2 - a\alpha + 4\alpha - \frac{2}{3}\alpha^3 \right) - \left( \frac{1}{2}a\beta^2 - a\beta + 4\beta - \frac{2}{3}\beta^3 \right)S=(21aα2−aα+4α−32α3)−(21aβ2−aβ+4β−32β3)S=12a(α2−β2)−a(α−β)+4(α−β)−23(α3−β3)S = \frac{1}{2}a(\alpha^2 - \beta^2) - a(\alpha - \beta) + 4(\alpha - \beta) - \frac{2}{3}(\alpha^3 - \beta^3)S=21a(α2−β2)−a(α−β)+4(α−β)−32(α3−β3)3. 最終的な答えS=12a(α2−β2)−a(α−β)+4(α−β)−23(α3−β3)S = \frac{1}{2}a(\alpha^2 - \beta^2) - a(\alpha - \beta) + 4(\alpha - \beta) - \frac{2}{3}(\alpha^3 - \beta^3)S=21a(α2−β2)−a(α−β)+4(α−β)−32(α3−β3)