定積分 $S = \int_{\beta}^{\alpha} (ax - a + 4 - 2x^2) dx$ を計算する問題です。

解析学定積分積分不定積分数式処理
2025/7/14

1. 問題の内容

定積分 S=βα(axa+42x2)dxS = \int_{\beta}^{\alpha} (ax - a + 4 - 2x^2) dx を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を整理し、積分を実行します。
S=βα(axa+42x2)dxS = \int_{\beta}^{\alpha} (ax - a + 4 - 2x^2) dx
各項を個別に積分します。
axdx=12ax2+C\int ax \, dx = \frac{1}{2}ax^2 + C
adx=ax+C\int -a \, dx = -ax + C
4dx=4x+C\int 4 \, dx = 4x + C
2x2dx=23x3+C\int -2x^2 \, dx = -\frac{2}{3}x^3 + C
これらをまとめると、
(axa+42x2)dx=12ax2ax+4x23x3+C\int (ax - a + 4 - 2x^2) dx = \frac{1}{2}ax^2 - ax + 4x - \frac{2}{3}x^3 + C
定積分の計算を行うには、上記の不定積分の結果に積分区間 α\alphaβ\beta を代入し、差を求めます。
S=[12ax2ax+4x23x3]βαS = \left[ \frac{1}{2}ax^2 - ax + 4x - \frac{2}{3}x^3 \right]_{\beta}^{\alpha}
S=(12aα2aα+4α23α3)(12aβ2aβ+4β23β3)S = \left( \frac{1}{2}a\alpha^2 - a\alpha + 4\alpha - \frac{2}{3}\alpha^3 \right) - \left( \frac{1}{2}a\beta^2 - a\beta + 4\beta - \frac{2}{3}\beta^3 \right)
S=12a(α2β2)a(αβ)+4(αβ)23(α3β3)S = \frac{1}{2}a(\alpha^2 - \beta^2) - a(\alpha - \beta) + 4(\alpha - \beta) - \frac{2}{3}(\alpha^3 - \beta^3)

3. 最終的な答え

S=12a(α2β2)a(αβ)+4(αβ)23(α3β3)S = \frac{1}{2}a(\alpha^2 - \beta^2) - a(\alpha - \beta) + 4(\alpha - \beta) - \frac{2}{3}(\alpha^3 - \beta^3)

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