定積分 $\int_{\beta}^{\alpha} -2(x - \alpha)(x - \beta) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\beta}^{\alpha} -2(x - \alpha)(x - \beta) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

\begin{align*}

-2(x-\alpha)(x-\beta) &= -2(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta) \\

&= -2x^2 + 2(\alpha + \beta)x - 2\alpha\beta

\end{align*}

次に、定積分を計算します。

\begin{align*}

\int_{\beta}^{\alpha} (-2x^2 + 2(\alpha + \beta)x - 2\alpha\beta) \, dx &= \left[-\frac{2}{3}x^3 + (\alpha + \beta)x^2 - 2\alpha\beta x\right]_{\beta}^{\alpha} \\

&= \left(-\frac{2}{3}\alpha^3 + (\alpha + \beta)\alpha^2 - 2\alpha\beta \alpha\right) - \left(-\frac{2}{3}\beta^3 + (\alpha + \beta)\beta^2 - 2\alpha\beta \beta\right) \\

&= -\frac{2}{3}(\alpha^3 - \beta^3) + (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \beta^2) - 2\alpha\beta (\alpha - \beta) \\

&= -\frac{2}{3}(\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) + (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) - 2\alpha\beta(\alpha - \beta) \\

&= (\alpha - \beta) \left[-\frac{2}{3}(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) + (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta\right] \\

&= (\alpha - \beta) \left[-\frac{2}{3}\alpha^2 - \frac{2}{3}\alpha\beta - \frac{2}{3}\beta^2 + \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 - 2\alpha\beta\right] \\

&= (\alpha - \beta) \left[\frac{1}{3}\alpha^2 - \frac{2}{3}\alpha\beta + \frac{1}{3}\beta^2\right] \\

&= \frac{1}{3}(\alpha - \beta)(\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2) \\

&= \frac{1}{3}(\alpha - \beta)(\alpha - \beta)^2 \\

&= \frac{1}{3}(\alpha - \beta)^3

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}(\alpha - \beta)^3$