与えられた関数の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べて、グラフの概形を描く問題です。 (1) $y = \frac{1}{4}x^3 - 3x$ (2) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2$

1. 問題の内容

与えられた関数の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べて、グラフの概形を描く問題です。

(1) $y = \frac{1}{4}x^3 - 3x$

(2) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{4}x^3 - 3x$ の場合

まず、一階微分を求めます。

$y' = \frac{3}{4}x^2 - 3$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{3}{4}x^2 - 3 = 0$

$\frac{3}{4}x^2 = 3$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

次に、二階微分を求めます。

$y'' = \frac{3}{2}x$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{3}{2}x = 0$

$x = 0$

増減表を作成します。

$x < -2$ のとき、$y' > 0$ で増加、$y'' < 0$ で上に凸。

$x = -2$ のとき、$y' = 0$ で極大値、$y = \frac{1}{4}(-8) - 3(-2) = -2 + 6 = 4$

$-2 < x < 0$ のとき、$y' < 0$ で減少、$y'' < 0$ で上に凸。

$x = 0$ のとき、$y'' = 0$ で変曲点、$y = 0$

$0 < x < 2$ のとき、$y' < 0$ で減少、$y'' > 0$ で下に凸。

$x = 2$ のとき、$y' = 0$ で極小値、$y = \frac{1}{4}(8) - 3(2) = 2 - 6 = -4$

$x > 2$ のとき、$y' > 0$ で増加、$y'' > 0$ で下に凸。

(2) $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2$ の場合

まず、一階微分を求めます。

$y' = x^3 - 3x$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^3 - 3x = 0$

$x(x^2 - 3) = 0$

$x = 0, \pm \sqrt{3}$

次に、二階微分を求めます。

$y'' = 3x^2 - 3$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 3 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

増減表を作成します。

$x < -\sqrt{3}$ のとき、$y' < 0$ で減少、$y'' > 0$ で下に凸。

$x = -\sqrt{3}$ のとき、$y' = 0$ で極小値、$y = \frac{1}{4}(9) - \frac{3}{2}(3) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = -\frac{9}{4}$

$-\sqrt{3} < x < -1$ のとき、$y' > 0$ で増加、$y'' > 0$ で下に凸。

$x = -1$ のとき、$y'' = 0$ で変曲点、$y = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = -\frac{5}{4}$

$-1 < x < 0$ のとき、$y' > 0$ で増加、$y'' < 0$ で上に凸。

$x = 0$ のとき、$y' = 0$ で極大値、$y = 0$

$0 < x < 1$ のとき、$y' < 0$ で減少、$y'' < 0$ で上に凸。

$x = 1$ のとき、$y'' = 0$ で変曲点、$y = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = -\frac{5}{4}$

$1 < x < \sqrt{3}$ のとき、$y' < 0$ で減少、$y'' > 0$ で下に凸。

$x = \sqrt{3}$ のとき、$y' = 0$ で極小値、$y = \frac{1}{4}(9) - \frac{3}{2}(3) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = -\frac{9}{4}$

$x > \sqrt{3}$ のとき、$y' > 0$ で増加、$y'' > 0$ で下に凸。

3. 最終的な答え

(1)

極大値: $(-2, 4)$

極小値: $(2, -4)$

変曲点: $(0, 0)$

(2)

極大値: $(0, 0)$

極小値: $(-\sqrt{3}, -\frac{9}{4}), (\sqrt{3}, -\frac{9}{4})$

変曲点: $(-1, -\frac{5}{4}), (1, -\frac{5}{4})$