与えられた3つの関数について、原点(0,0)における連続性を調べます。関数はそれぞれ以下のように定義されています。 (1) $ f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} $ (2) $ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2 + y^4} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} $ (3) $ f(x,y) = \begin{cases} x\sin\frac{y}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、原点(0,0)における連続性を調べます。関数はそれぞれ以下のように定義されています。

(1)

$f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

(2)

$f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2 + y^4} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

(3)

$f(x,y) = \begin{cases} x\sin\frac{y}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$

2. 解き方の手順

関数の連続性を調べるには、極限値 $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ が存在し、その値が $f(0,0)$ と一致することを確認する必要があります。

(1) 極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用います。すると、

$\frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta}{\sqrt{r^2}} = \frac{r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{r} = r(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = r\cos(2\theta)$

$r \to 0$のとき、$|r\cos(2\theta)| \leq r \to 0$ なので、$\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)$。したがって、(1)は連続です。

(2) $y^2 = ax$ となるような経路に沿って $(0,0)$ に近づくと、

$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x(ax)}{x^2 + (ax)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{ax^2}{x^2 + a^2x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{a}{1 + a^2} = \frac{a}{1 + a^2}$

この値は $a$ に依存するので、極限値は存在しません。したがって、(2)は不連続です。

(3) $x \neq 0$のとき、

$|x\sin\frac{y}{x}| \leq |x|$

$(x,y)\to (0,0)$のとき、$|x| \to 0$なので、$\lim_{(x,y)\to (0,0)} x\sin\frac{y}{x} = 0 = f(0,0)$。したがって、(3)は連続です。

3. 最終的な答え

(1) 連続

(2) 不連続

(3) 連続