与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = \log |3x + 2|$ (2) $y = \log |\sin x|$ (3) $y = \log_5 |2x - 1|$ (4) $y = \log_2 |x^2 - 4|$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = \log |3x + 2|$

(2) $y = \log |\sin x|$

(3) $y = \log_5 |2x - 1|$

(4) $y = \log_2 |x^2 - 4|$

2. 解き方の手順

対数関数の微分公式と合成関数の微分公式（チェインルール）を利用します。

(1) $y = \log |3x + 2|$ の微分

$\log x$ の微分は $\frac{1}{x}$ であることを利用します。絶対値記号は微分するときは無視できます。

$y' = \frac{1}{3x + 2} \cdot 3 = \frac{3}{3x + 2}$

(2) $y = \log |\sin x|$ の微分

$\log x$ の微分は $\frac{1}{x}$ であることと、$\sin x$ の微分は $\cos x$ であることを利用します。絶対値記号は微分するときは無視できます。

$y' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

(3) $y = \log_5 |2x - 1|$ の微分

底の変換公式 $\log_a x = \frac{\log x}{\log a}$ を用いて、

$y = \frac{\log |2x - 1|}{\log 5}$ と書き換えます。

$\log x$ の微分は $\frac{1}{x}$ であることを利用します。絶対値記号は微分するときは無視できます。

$y' = \frac{1}{\log 5} \cdot \frac{1}{2x - 1} \cdot 2 = \frac{2}{(2x - 1)\log 5}$

(4) $y = \log_2 |x^2 - 4|$ の微分

底の変換公式 $\log_a x = \frac{\log x}{\log a}$ を用いて、

$y = \frac{\log |x^2 - 4|}{\log 2}$ と書き換えます。

$\log x$ の微分は $\frac{1}{x}$ であることと、$x^2 - 4$ の微分は $2x$ であることを利用します。絶対値記号は微分するときは無視できます。

$y' = \frac{1}{\log 2} \cdot \frac{1}{x^2 - 4} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2 - 4)\log 2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{3}{3x + 2}$

(2) $y' = \cot x$

(3) $y' = \frac{2}{(2x - 1)\log 5}$

(4) $y' = \frac{2x}{(x^2 - 4)\log 2}$