与えられた関数の指定された区間における最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の３つの関数について解きます。 (a) $y = x^3 - 3x^2 + 2$, 区間 $I = [-2, 4]$ (b) $y = x^2e^{-2x}$, 区間 $I = [-1, 2]$ (c) $y = x + \sin{x}$, 区間 $I = [0, 2\pi]$

1. 問題の内容

与えられた関数の指定された区間における最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の３つの関数について解きます。

(a) $y = x^3 - 3x^2 + 2$, 区間 $I = [-2, 4]$

(b) $y = x^2e^{-2x}$, 区間 $I = [-1, 2]$

(c) $y = x + \sin{x}$, 区間 $I = [0, 2\pi]$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で最大値と最小値を求めます。

(1) 導関数を求め、それが0になる点を求める（極値の候補）。

(2) 区間の端点と極値の候補における関数の値を計算する。

(3) 計算した値の中で最も大きいものが最大値、最も小さいものが最小値となる。

(a) $y = x^3 - 3x^2 + 2$, 区間 $I = [-2, 4]$

まず、導関数を求めます。

$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$

$y' = 0$ となるのは $x = 0, 2$ です。

次に、区間の端点と極値の候補における関数の値を計算します。

$y(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 2 = -8 - 12 + 2 = -18$

$y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$

$y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$

$y(4) = 4^3 - 3(4)^2 + 2 = 64 - 48 + 2 = 18$

したがって、最大値は18 ($x=4$のとき), 最小値は-18 ($x=-2$のとき)です。

(b) $y = x^2e^{-2x}$, 区間 $I = [-1, 2]$

まず、導関数を求めます。

$y' = 2xe^{-2x} + x^2(-2)e^{-2x} = 2xe^{-2x} - 2x^2e^{-2x} = 2xe^{-2x}(1-x)$

$y' = 0$ となるのは $x = 0, 1$ です。

次に、区間の端点と極値の候補における関数の値を計算します。

$y(-1) = (-1)^2e^{-2(-1)} = e^2 \approx 7.389$

$y(0) = 0^2e^{-2(0)} = 0$

$y(1) = 1^2e^{-2(1)} = e^{-2} \approx 0.135$

$y(2) = 2^2e^{-2(2)} = 4e^{-4} \approx 0.073$

したがって、最大値は$e^2$ ($x=-1$のとき), 最小値は0 ($x=0$のとき)です。

(c) $y = x + \sin{x}$, 区間 $I = [0, 2\pi]$

まず、導関数を求めます。

$y' = 1 + \cos{x}$

$y' = 0$ となるのは $\cos{x} = -1$ のときなので、$x = \pi$ です。

次に、区間の端点と極値の候補における関数の値を計算します。

$y(0) = 0 + \sin{0} = 0$

$y(\pi) = \pi + \sin{\pi} = \pi + 0 = \pi \approx 3.14$

$y(2\pi) = 2\pi + \sin{2\pi} = 2\pi + 0 = 2\pi \approx 6.28$

したがって、最大値は$2\pi$ ($x=2\pi$のとき), 最小値は0 ($x=0$のとき)です。

3. 最終的な答え

(a) 最大値: 18, 最小値: -18

(b) 最大値: $e^2$, 最小値: 0

(c) 最大値: $2\pi$, 最小値: 0