放物線 $y = 2x - x^2$ とx軸で囲まれた部分の面積を、直線 $y = mx$ で2等分するように定数 $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x - x^2$ とx軸で囲まれた部分の面積を、直線 $y = mx$ で2等分するように定数 $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = 2x - x^2$ とx軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。放物線とx軸との交点を求めると、

$2x - x^2 = 0$

$x(2-x) = 0$

よって、$x = 0, 2$ である。したがって、面積$S$は、

$S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

次に、放物線 $y = 2x - x^2$ と直線 $y = mx$ の交点を求める。

$2x - x^2 = mx$

$x^2 + (m-2)x = 0$

$x(x + m - 2) = 0$

よって、$x = 0, 2-m$ である。

したがって、放物線 $y = 2x - x^2$ と直線 $y = mx$ で囲まれた部分の面積は、

$\int_{0}^{2-m} (2x - x^2 - mx) dx = \int_{0}^{2-m} ((2-m)x - x^2) dx$

$= [\frac{(2-m)x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2-m} = \frac{(2-m)^3}{2} - \frac{(2-m)^3}{3} = \frac{(2-m)^3}{6}$

この面積が $S$ の半分、つまり $\frac{1}{2} S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$ であるとき、

$\frac{(2-m)^3}{6} = \frac{2}{3}$

$(2-m)^3 = 4$

$2-m = \sqrt[3]{4}$

$m = 2 - \sqrt[3]{4}$

3. 最終的な答え

$m = 2 - \sqrt[3]{4}$