放物線 $y = x^2 - x$ と直線 $y = mx$ で囲まれた部分の面積 $S$ が、$x$軸によって2等分されるように、定数 $m$ の値を求める。ただし、$m > 0$ とする。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - x$ と直線 $y = mx$ で囲まれた部分の面積 $S$ が、$x$軸によって2等分されるように、定数 $m$ の値を求める。ただし、$m > 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 - x$ と直線 $y = mx$ の交点の $x$ 座標を求める。

$x^2 - x = mx$ を解くと、

$x^2 - (m+1)x = 0$

$x(x - (m+1)) = 0$

よって、交点の $x$ 座標は $x = 0$ および $x = m+1$ である。

次に、放物線と直線で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

$S = \int_0^{m+1} \{mx - (x^2 - x)\} dx = \int_0^{m+1} \{(m+1)x - x^2\} dx$

$S = \left[ \frac{m+1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^{m+1} = \frac{(m+1)^3}{2} - \frac{(m+1)^3}{3} = \frac{(m+1)^3}{6}$

次に、$x$軸より下の部分の面積を求める。

放物線 $y = x^2 - x = x(x-1)$ は、$0 < x < 1$ で $y < 0$ である。

よって、$x$軸より下の部分の面積 $S_1$ は、

$S_1 = \int_0^1 -(x^2 - x) dx = \int_0^1 (x - x^2) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

問題文より、$S_1 = \frac{S}{2}$ なので、

$\frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(m+1)^3}{6}$

$1 = \frac{(m+1)^3}{2}$

$(m+1)^3 = 2$

$m+1 = \sqrt[3]{2}$

$m = \sqrt[3]{2} - 1$

3. 最終的な答え

$m = \sqrt[3]{2} - 1$