与えられた3つの関数について、それぞれの増減を調べ、極値を求める問題です。 (a) $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$ (b) $y = xe^{-x}$ (c) $y = x^2e^x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれの増減を調べ、極値を求める問題です。

(a) $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$

(b) $y = xe^{-x}$

(c) $y = x^2e^x$

2. 解き方の手順

(a) $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$

まず、導関数を求めます。

$y' = 6x^2 - 18x + 12$

次に、$y' = 0$となる$x$を求めます。

$6x^2 - 18x + 12 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x - 2) = 0$

$x = 1, 2$

$x = 1$のとき、$y = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 5 = 2 - 9 + 12 - 5 = 0$

$x = 2$のとき、$y = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 5 = 16 - 36 + 24 - 5 = -1$

増減表を書きます。

| x | ... | 1 | ... | 2 | ... |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↑ | 0 | ↓ | -1 | ↑ |

したがって、$x = 1$で極大値$0$、$x = 2$で極小値$-1$をとります。

(b) $y = xe^{-x}$

まず、導関数を求めます。

$y' = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x}$

次に、$y' = 0$となる$x$を求めます。

$(1 - x)e^{-x} = 0$

$e^{-x} > 0$より、$1 - x = 0$

$x = 1$

$x = 1$のとき、$y = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$

増減表を書きます。

| x | ... | 1 | ... |

| --- | --- | --- | --- |

| y' | + | 0 | - |

| y | ↑ | 1/e | ↓ |

したがって、$x = 1$で極大値$\frac{1}{e}$をとります。極小値はありません。

(c) $y = x^2e^x$

まず、導関数を求めます。

$y' = 2xe^x + x^2e^x = (x^2 + 2x)e^x = x(x + 2)e^x$

次に、$y' = 0$となる$x$を求めます。

$x(x + 2)e^x = 0$

$e^x > 0$より、$x(x + 2) = 0$

$x = 0, -2$

$x = 0$のとき、$y = 0^2e^0 = 0$

$x = -2$のとき、$y = (-2)^2e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$

増減表を書きます。

| x | ... | -2 | ... | 0 | ... |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↑ | 4/e^2 | ↓ | 0 | ↑ |

したがって、$x = -2$で極大値$\frac{4}{e^2}$、$x = 0$で極小値$0$をとります。

3. 最終的な答え

(a) 極大値：0 (x=1), 極小値：-1 (x=2)

(b) 極大値：1/e (x=1), 極小値なし

(c) 極大値：4/e^2 (x=-2), 極小値：0 (x=0)