関数 $y = \frac{1-x}{1+x^2}$ の増減、極値、凹凸、および変曲点を調べて、そのグラフの概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1-x}{1+x^2}$ の増減、極値、凹凸、および変曲点を調べて、そのグラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 導関数を求める。

まず、第一導関数 $y'$ を求める。

$y = \frac{1-x}{1+x^2}$

$y' = \frac{(-1)(1+x^2) - (1-x)(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{-1-x^2-2x+2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{x^2-2x-1}{(1+x^2)^2}$

次に、第二導関数 $y''$ を求める。

$y'' = \frac{(2x-2)(1+x^2)^2 - (x^2-2x-1)(2)(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4}$

$= \frac{(2x-2)(1+x^2) - (x^2-2x-1)(4x)}{(1+x^2)^3}$

$= \frac{2x+2x^3-2-2x^2 - 4x^3+8x^2+4x}{(1+x^2)^3}$

$= \frac{-2x^3+6x^2+6x-2}{(1+x^2)^3} = \frac{-2(x^3-3x^2-3x+1)}{(1+x^2)^3}$

(2) 増減を調べる。

$y' = 0$ となる $x$ を求める。

$x^2-2x-1 = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

$x = 1 - \sqrt{2}$ のとき、$y = \frac{1-(1-\sqrt{2})}{1+(1-\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{2}}{1+(1-2\sqrt{2}+2)} = \frac{\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(4+2\sqrt{2})}{(4-2\sqrt{2})(4+2\sqrt{2})} = \frac{4\sqrt{2}+4}{16-8} = \frac{4\sqrt{2}+4}{8} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$y = \frac{1-(1+\sqrt{2})}{1+(1+\sqrt{2})^2} = \frac{-\sqrt{2}}{1+(1+2\sqrt{2}+2)} = \frac{-\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}(4-2\sqrt{2})}{(4+2\sqrt{2})(4-2\sqrt{2})} = \frac{-4\sqrt{2}+4}{16-8} = \frac{-4\sqrt{2}+4}{8} = \frac{-\sqrt{2}+1}{2}$

(3) 凹凸を調べる。

$y'' = 0$ となる $x$ を求める。

$x^3-3x^2-3x+1 = 0$

$x = -1, 2 \pm \sqrt{3}$　のとき、$y'' = 0$

これらのxの値で凹凸が変わる可能性がある。

$x = -1$ のとき、$y = \frac{1-(-1)}{1+(-1)^2} = \frac{2}{2} = 1$

$x = 2 - \sqrt{3}$ のとき、$y = \frac{1-(2-\sqrt{3})}{1+(2-\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{3}-1}{1+(4-4\sqrt{3}+3)} = \frac{\sqrt{3}-1}{8-4\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3}-1)(8+4\sqrt{3})}{(8-4\sqrt{3})(8+4\sqrt{3})} = \frac{8\sqrt{3}+12-8-4\sqrt{3}}{64-48} = \frac{4\sqrt{3}+4}{16} = \frac{\sqrt{3}+1}{4}$

$x = 2 + \sqrt{3}$ のとき、$y = \frac{1-(2+\sqrt{3})}{1+(2+\sqrt{3})^2} = \frac{-1-\sqrt{3}}{1+(4+4\sqrt{3}+3)} = \frac{-1-\sqrt{3}}{8+4\sqrt{3}} = \frac{(-1-\sqrt{3})(8-4\sqrt{3})}{(8+4\sqrt{3})(8-4\sqrt{3})} = \frac{-8+4\sqrt{3}-8\sqrt{3}+12}{64-48} = \frac{4-4\sqrt{3}}{16} = \frac{1-\sqrt{3}}{4}$

(4) 極限を調べる。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1-x}{1+x^2} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{1-x}{1+x^2} = 0$

3. 最終的な答え

- 極大値: $x = 1 - \sqrt{2}$ のとき、 $y = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$

- 極小値: $x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、 $y = \frac{1-\sqrt{2}}{2}$

- 変曲点: $(-1, 1), (2-\sqrt{3}, \frac{1+\sqrt{3}}{4}), (2+\sqrt{3}, \frac{1-\sqrt{3}}{4})$

増減表、凹凸表を作成しグラフを描く。

グラフの概形は以下の通り。

- $x \to \infty$ で $y \to 0$

- $x \to -\infty$ で $y \to 0$

- $x = 1 - \sqrt{2}$ で極大値 $y = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$

- $x = 1 + \sqrt{2}$ で極小値 $y = \frac{1-\sqrt{2}}{2}$

- 変曲点: $(-1, 1), (2-\sqrt{3}, \frac{1+\sqrt{3}}{4}), (2+\sqrt{3}, \frac{1-\sqrt{3}}{4})$