次の関数の極値を求めます。 (a) $f(x) = x\sqrt{2-x}$ (b) $f(x) = x + \frac{9}{x}$

1. 問題の内容

次の関数の極値を求めます。

(a) $f(x) = x\sqrt{2-x}$

(b) $f(x) = x + \frac{9}{x}$

2. 解き方の手順

(a) $f(x) = x\sqrt{2-x}$ の場合

まず、定義域を考えます。$\sqrt{2-x}$ が定義されるためには $2-x \ge 0$ である必要があるので、$x \le 2$ となります。

次に、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = \sqrt{2-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (-1) = \sqrt{2-x} - \frac{x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{2(2-x) - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{4-3x}{2\sqrt{2-x}}$

$f'(x) = 0$ となるのは $4-3x = 0$ のときなので、$x = \frac{4}{3}$ です。

$f'(x)$ の符号を調べます。

$x < \frac{4}{3}$ のとき、$f'(x) > 0$

$x > \frac{4}{3}$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、$x = \frac{4}{3}$ で極大値をとり、その値は

$f(\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}\sqrt{2 - \frac{4}{3}} = \frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{9}$

(b) $f(x) = x + \frac{9}{x}$ の場合

$f'(x) = 1 - \frac{9}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは $1 - \frac{9}{x^2} = 0$ のときなので、$x^2 = 9$ より $x = \pm 3$ です。

$f'(x)$ の符号を調べます。

$x < -3$ のとき、$f'(x) > 0$

$-3 < x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$

$0 < x < 3$ のとき、$f'(x) < 0$

$x > 3$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = -3$ で極大値をとり、その値は $f(-3) = -3 + \frac{9}{-3} = -3 - 3 = -6$

$x = 3$ で極小値をとり、その値は $f(3) = 3 + \frac{9}{3} = 3 + 3 = 6$

3. 最終的な答え

(a) $x = \frac{4}{3}$ で極大値 $\frac{4\sqrt{6}}{9}$ をとる。

(b) $x = -3$ で極大値 $-6$ をとり、$x = 3$ で極小値 $6$ をとる。