問題2：方程式 $2x^3 + 3x^2 - 12x - 2 = 0$ の実数解の個数とその符号を調べる。 問題3：方程式 $x^3 - 6x^2 + 9x = k$ の実数解の個数が $k$ の値によってどのように変化するかを調べる。

1. 問題の内容

問題2：方程式 $2x^3 + 3x^2 - 12x - 2 = 0$ の実数解の個数とその符号を調べる。

問題3：方程式 $x^3 - 6x^2 + 9x = k$ の実数解の個数が $k$ の値によってどのように変化するかを調べる。

2. 解き方の手順

問題2：

$f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x - 2$ とおく。

$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 6(x^2 + x - 2) = 6(x+2)(x-1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -2, 1$

$f(-2) = 2(-8) + 3(4) - 12(-2) - 2 = -16 + 12 + 24 - 2 = 18$

$f(1) = 2 + 3 - 12 - 2 = -9$

$x = -2$ で極大値 $18$ をとり，$x = 1$ で極小値 $-9$ をとる。

$f(x)$ は $x \to -\infty$ で $-\infty$ に発散し、$x \to \infty$ で $\infty$ に発散する。

$f(-3) = 2(-27) + 3(9) - 12(-3) - 2 = -54 + 27 + 36 - 2 = 7$

$f(-0.5) = 2(-0.125) + 3(0.25) - 12(-0.5) - 2 = -0.25 + 0.75 + 6 - 2 = 4.5$

$f(0) = -2$

$f(2) = 2(8) + 3(4) - 12(2) - 2 = 16 + 12 - 24 - 2 = 2$

増減表は以下のようになる。

x | ... | -2 | ... | 1 | ...

f'(x) | + | 0 | - | 0 | +

f(x) | 上昇 | 18 | 下降 | -9 | 上昇

$f(-3) > 0$ なので、実数解は $-3$ と $-2$ の間、$-0.5$ と $0$ の間、$1$ と $2$ の間にそれぞれ1つずつ存在する。

したがって、実数解は3個存在する。それぞれの符号は負、負、正。

問題3：

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ とおく。

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1, 3$

$f(1) = 1 - 6 + 9 = 4$

$f(3) = 27 - 6(9) + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 0$

$x = 1$ で極大値 $4$ をとり，$x = 3$ で極小値 $0$ をとる。

$f(x)$ は $x \to -\infty$ で $-\infty$ に発散し、$x \to \infty$ で $\infty$ に発散する。

増減表は以下のようになる。

x | ... | 1 | ... | 3 | ...

f'(x) | + | 0 | - | 0 | +

f(x) | 上昇 | 4 | 下降 | 0 | 上昇

$k < 0$ のとき、実数解は1個。

$k = 0$ のとき、実数解は2個。（$x=0, 3$）

$0 < k < 4$ のとき、実数解は3個。

$k = 4$ のとき、実数解は2個。（$x=1$）

$k > 4$ のとき、実数解は1個。

3. 最終的な答え

問題2：実数解は3個。負、負、正。

問題3：

$k < 0$ のとき、実数解は1個。

$k = 0$ のとき、実数解は2個。

$0 < k < 4$ のとき、実数解は3個。

$k = 4$ のとき、実数解は2個。

$k > 4$ のとき、実数解は1個。