正項級数の収束・発散を判定する問題です。 (2) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\log n)^\alpha}$ ($\alpha > 0$) (3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{n^2}$

1. 問題の内容

正項級数の収束・発散を判定する問題です。

(2) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\log n)^\alpha}$ ($\alpha > 0$)

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{n^2}$

2. 解き方の手順

(2) について:

積分判定法を用います。関数 $f(x) = \frac{1}{x (\log x)^\alpha}$ は $x \ge 2$ で正であり、単調減少です。積分

$$\int_2^{\infty} \frac{1}{x (\log x)^\alpha} dx$$

を考えます。$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$ となり、積分は

$$\int_{\log 2}^{\infty} \frac{1}{u^\alpha} du$$

となります。この積分は $\alpha > 1$ のとき収束し、$\alpha \le 1$ のとき発散します。したがって、級数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\log n)^\alpha}$ は $\alpha > 1$ のとき収束し、$\alpha \le 1$ のとき発散します。

(3) について:

比較判定法を用います。任意の $\epsilon > 0$ に対して、十分大きな $n$ に対して $\log n < n^\epsilon$ が成り立ちます。したがって、

$$\frac{\log n}{n^2} < \frac{n^\epsilon}{n^2} = \frac{1}{n^{2-\epsilon}}$$

が成り立ちます。$\epsilon = \frac{1}{2}$ とすると、

$$\frac{\log n}{n^2} < \frac{1}{n^{3/2}}$$

となり、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ は収束するので、比較判定法より $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log n}{n^2}$ も収束します。

3. 最終的な答え

(2) $\alpha > 1$ のとき収束し、$\alpha \le 1$ のとき発散する。

(3) 収束する。