座標平面上に、点 $(1, 2)$ を通る直線 $l$ と放物線 $C: y = x^2$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。$S$ を最小にする $l$ の傾きを求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に、点 $(1, 2)$ を通る直線 $l$ と放物線 $C: y = x^2$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。$S$ を最小にする $l$ の傾きを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点 $(1, 2)$ を通る直線 $l$ の方程式を求める。直線の傾きを $m$ とすると、$l$ の方程式は $y = m(x - 1) + 2$ と表せる。つまり、$y = mx - m + 2$ である。

次に、$l$ と $C: y = x^2$ の交点の $x$ 座標を求める。$x^2 = mx - m + 2$ を解くと、$x^2 - mx + m - 2 = 0$ となる。この 2 次方程式の解を $\alpha, \beta$ とおく。解と係数の関係より、$\alpha + \beta = m$、$\alpha\beta = m - 2$ が成り立つ。

$S$ は直線 $l$ と放物線 $C$ で囲まれた部分の面積なので、$S = \int_{\alpha}^{\beta} (mx - m + 2 - x^2) dx$ と表せる。

$S = \int_{\alpha}^{\beta} -(x^2 - mx + m - 2) dx = - \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx$

$S = - \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{m}{2}x^2 + (m - 2)x \right]_{\alpha}^{\beta}$

$S = \frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3$

$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = m^2 - 4(m - 2) = m^2 - 4m + 8 = (m - 2)^2 + 4$

$\beta - \alpha = \sqrt{(m - 2)^2 + 4}$

$S = \frac{1}{6} ((m - 2)^2 + 4)^{3/2}$

$S$ が最小になるのは、$(m - 2)^2$ が最小になるとき。つまり、$m = 2$ のとき。

このとき、$(\beta - \alpha)^2 = 4$ より $\beta - \alpha = 2$。

よって、$S$ を最小にする $l$ の傾きは $m = 2$ である。

3. 最終的な答え

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