関数 $f(a)$ が、$f(a) = \int_{0}^{1} |x(x-a)| dx$ で定義されている。 (1) $a \ge 1$ のとき、$f(a)$ を求めよ。 (2) $f(a)$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(a)$ が、$f(a) = \int_{0}^{1} |x(x-a)| dx$ で定義されている。

(1) $a \ge 1$ のとき、$f(a)$ を求めよ。

(2) $f(a)$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a \ge 1$ のとき、$0 \le x \le 1$ において、$x-a \le 0$ であるから、$x(x-a) \le 0$。

したがって、$|x(x-a)| = -x(x-a) = ax - x^2$ となる。

$f(a) = \int_{0}^{1} (ax - x^2) dx = \left[ \frac{ax^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{a}{2} - \frac{1}{3}$

(2) $0 < a < 1$ のとき、$x(x-a) = 0$ となるのは $x = 0$ と $x = a$。

$0 \le x \le a$ のとき、$x-a \le 0$ であるから、$x(x-a) \le 0$ であり、$|x(x-a)| = -x(x-a) = ax-x^2$

$a \le x \le 1$ のとき、$x-a \ge 0$ であるから、$x(x-a) \ge 0$ であり、$|x(x-a)| = x(x-a) = x^2-ax$

$f(a) = \int_{0}^{a} (ax - x^2) dx + \int_{a}^{1} (x^2 - ax) dx$

$= \left[ \frac{ax^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{a} + \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{ax^2}{2} \right]_{a}^{1}$

$= \left( \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{a}{2} - \frac{a^3}{3} + \frac{a^3}{2} \right)$

$= \frac{a^3}{6} + \frac{1}{3} - \frac{a}{2} + \frac{a^3}{6} = \frac{a^3}{3} - \frac{a}{2} + \frac{1}{3}$

$f'(a) = a^2 - \frac{1}{2}$

$f'(a) = 0$ となるのは、$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 < a < 1$ において、$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$f''(a) = 2a$

$f''(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 0$ より、$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ で極小値をとる。

$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$f(a) = \frac{1}{3} (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 - \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{3} = \frac{1-3}{6\sqrt{2}} + \frac{1}{3} = -\frac{2}{6\sqrt{2}} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} (1-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{3} (1-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2-\sqrt{2}}{6}$

$a \ge 1$ のとき、$f(a) = \frac{a}{2} - \frac{1}{3}$ は単調増加である。$a = 1$ のとき、$f(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

$f(0) = \frac{1}{3}$

$f(1) = \frac{1}{6}$

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2-\sqrt{2}}{6} \approx \frac{2-1.414}{6} \approx \frac{0.586}{6} \approx 0.097$

したがって、最小値は $f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2-\sqrt{2}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a \ge 1$ のとき、$f(a) = \frac{a}{2} - \frac{1}{3}$

(2) $f(a)$ の最小値は $\frac{2-\sqrt{2}}{6}$