与えられたグラフは関数 $y = 2\cos(a\theta - b)$ のグラフである。$a > 0$ かつ $0 < b < 2\pi$ のとき、$a, b$ の値と、グラフ中の点A, B, C, D の $\theta$ 座標を求める。

1. 問題の内容

与えられたグラフは関数 $y = 2\cos(a\theta - b)$ のグラフである。$a > 0$ かつ $0 < b < 2\pi$ のとき、$a, b$ の値と、グラフ中の点A, B, C, D の $\theta$ 座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフの周期を求める。

グラフより、$\theta = \frac{\pi}{12}$ で極大値、$\theta = \frac{5\pi}{6}$ で次の極大値を取ることがわかる。

したがって、このグラフの周期は $\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{12} = \frac{10\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}$ である。

(2) $a$ の値を求める。

関数 $y = 2\cos(a\theta - b)$ の周期は $\frac{2\pi}{a}$ である。

したがって、$\frac{2\pi}{a} = \frac{3\pi}{4}$ より、 $a = \frac{2\pi \times 4}{3\pi} = \frac{8}{3}$ となる。

(3) $b$ の値を求める。

$\theta = \frac{\pi}{12}$ で $y = 2$ (極大値) となるから、$a\theta - b = 2n\pi$ （$n$は整数）を満たす。

$a = \frac{8}{3}$ を代入して、$\frac{8}{3} \times \frac{\pi}{12} - b = 2n\pi$

$\frac{2\pi}{9} - b = 2n\pi$

$b = \frac{2\pi}{9} - 2n\pi$

$0 < b < 2\pi$ なので、 $n = 0$ とすると、$b = \frac{2\pi}{9}$ となる。

(4) A, B, C, D の座標を求める。

A: $y$ 軸との交点ではないので、$y = 2\cos(a\theta - b)$ の最大値を取る$\theta$座標は $\frac{5\pi}{6}$。

したがって、Aの座標は$\frac{5\pi}{6}$。

B: 最大値を取る点の$y$座標は 2。$y = 2\cos(a\theta - b)$ のグラフより、Bの$y$座標は 2。

C: グラフより、$y$の最小値は-2。$y = 2\cos(a\theta - b)$ で $\cos(a\theta - b) = -1$ となる$\theta$座標を求める。

$a\theta - b = (2n+1)\pi$

$\frac{8}{3}\theta - \frac{2\pi}{9} = (2n+1)\pi$

$\frac{8}{3}\theta = (2n+1)\pi + \frac{2\pi}{9} = (\frac{18n+9+2}{9})\pi = \frac{18n+11}{9}\pi$

$\theta = \frac{3}{8} \times \frac{18n+11}{9}\pi = \frac{18n+11}{24}\pi$

$n=0$のとき、$\theta = \frac{11\pi}{24}$

D: $y=0$となるところなので、$y = 2\cos(a\theta - b)$ で $\cos(a\theta - b) = 0$ となる$\theta$座標を求める。

$a\theta - b = (2n+1)\frac{\pi}{2}$

$\frac{8}{3}\theta - \frac{2\pi}{9} = (2n+1)\frac{\pi}{2}$

$\frac{8}{3}\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{9} = (\frac{9(2n+1)+4}{18})\pi = \frac{18n+13}{18}\pi$

$\theta = \frac{3}{8} \times \frac{18n+13}{18}\pi = \frac{18n+13}{48}\pi$

$n=0$のとき、$\theta = \frac{13\pi}{48}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{8}{3}$

$b = \frac{2\pi}{9}$

A: $\frac{5\pi}{6}$

B: 2

C: -2

D: $\frac{13\pi}{48}$