関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + \frac{1}{3}$ のグラフを $C$ とする。 (1) 点 $(1, f(1))$ における $C$ の接線の方程式を求めよ。 (2) 点 $(1, -1)$ を通る $C$ の接線の方程式をすべて求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + \frac{1}{3}$ のグラフを $C$ とする。

(1) 点 $(1, f(1))$ における $C$ の接線の方程式を求めよ。

(2) 点 $(1, -1)$ を通る $C$ の接線の方程式をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求める。

まず、$f(1)$ を計算する。

$f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$

次に、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = x^2 + 2x$

$f'(1)$ を計算する。

$f'(1) = (1)^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3$

よって、点 $(1, \frac{5}{3})$ における接線の傾きは3である。

接線の方程式は、$y - \frac{5}{3} = 3(x - 1)$ となる。

これを整理すると、$y = 3x - 3 + \frac{5}{3} = 3x - \frac{4}{3}$ となる。

(2) 点 $(1, -1)$ を通る接線の方程式を求める。

接点の座標を $(t, f(t))$ とすると、$f(t) = \frac{1}{3}t^3 + t^2 + \frac{1}{3}$ である。

接線の傾きは $f'(t) = t^2 + 2t$ である。

接線の方程式は、$y - f(t) = f'(t)(x - t)$ と表せる。

この接線が点 $(1, -1)$ を通るので、

$-1 - (\frac{1}{3}t^3 + t^2 + \frac{1}{3}) = (t^2 + 2t)(1 - t)$

$-1 - \frac{1}{3}t^3 - t^2 - \frac{1}{3} = t^2 + 2t - t^3 - 2t^2$

$-\frac{4}{3} - \frac{1}{3}t^3 - t^2 = -t^2 + 2t - t^3$

両辺に3をかけると、$-4 - t^3 - 3t^2 = -3t^2 + 6t - 3t^3$

$2t^3 - 6t - 4 = 0$

$t^3 - 3t - 2 = 0$

$(t + 1)(t^2 - t - 2) = 0$

$(t + 1)(t + 1)(t - 2) = 0$

$(t + 1)^2(t - 2) = 0$

よって、$t = -1, 2$

$t = -1$ のとき、$f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} = 1$

$f'(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$

接線の方程式は、$y - 1 = -1(x + 1)$

$y = -x$

$t = 2$ のとき、$f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 + \frac{1}{3} = \frac{8}{3} + 4 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + 4 = 3 + 4 = 7$

$f'(2) = (2)^2 + 2(2) = 4 + 4 = 8$

接線の方程式は、$y - 7 = 8(x - 2)$

$y = 8x - 16 + 7 = 8x - 9$

求める接線は $y = -x$ と $y = 8x - 9$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x - \frac{4}{3}$

(2) $y = -x$, $y = 8x - 9$