定積分 $\int_{-2}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$ の値を求める問題です。

## 問題 1 の回答

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

積分 $\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$ を計算します。

$x = 2\sin\theta$ と置換すると、$dx = 2\cos\theta d\theta$ となります。

$\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4-4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$ となります。

よって、

$\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = \int \frac{1}{2\cos\theta} 2\cos\theta d\theta = \int d\theta = \theta + C = \arcsin(\frac{x}{2}) + C$

積分範囲を考慮すると、

$\int_{-2}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = [\arcsin(\frac{x}{2})]_{-2}^{\sqrt{3}} = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin(-1) = \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{6}\pi$

## 問題 2 の回答

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 \frac{x}{1+x^4} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$u = x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ より、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

積分範囲は $x:0 \to 1$ より、$u:0 \to 1$ となります。

よって、

$\int_0^1 \frac{x}{1+x^4} dx = \int_0^1 \frac{1}{1+u^2} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} [\arctan(u)]_0^1 = \frac{1}{2} (\arctan(1) - \arctan(0)) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8}\pi$

## 問題 3 の回答

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^e \frac{1}{x} (\log x)^2 dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ となります。

積分範囲は $x:1 \to e$ より、$u:0 \to 1$ となります。

よって、

$\int_1^e \frac{1}{x} (\log x)^2 dx = \int_0^1 u^2 du = [\frac{1}{3}u^3]_0^1 = \frac{1}{3}(1^3 - 0^3) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$

## 問題 4 の回答

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^e x (\log x)^2 dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

$f(x) = (\log x)^2$, $g'(x) = x$ とすると、$f'(x) = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$, $g(x) = \frac{1}{2}x^2$ となります。

$\int_1^e x (\log x)^2 dx = [\frac{1}{2}x^2 (\log x)^2]_1^e - \int_1^e \frac{1}{2}x^2 \cdot 2 \log x \cdot \frac{1}{x} dx = [\frac{1}{2}x^2 (\log x)^2]_1^e - \int_1^e x \log x dx$

$= \frac{1}{2}e^2 (\log e)^2 - \frac{1}{2}(1)^2 (\log 1)^2 - \int_1^e x \log x dx = \frac{1}{2}e^2 - \int_1^e x \log x dx$

再び部分積分。

$u(x) = \log x$, $v'(x) = x$ とすると、$u'(x) = \frac{1}{x}$, $v(x) = \frac{1}{2}x^2$ となります。

$\int_1^e x \log x dx = [\frac{1}{2}x^2 \log x]_1^e - \int_1^e \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = [\frac{1}{2}x^2 \log x]_1^e - \int_1^e \frac{1}{2}x dx = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}(\frac{1}{2}x^2)_1^e = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{4}(e^2 - 1) = \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}$

よって、

$\int_1^e x (\log x)^2 dx = \frac{1}{2}e^2 - (\frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4} = \frac{e^2 - 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^2 - 1}{4}$

## 問題 5 の回答

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^3 x\sqrt{1+x}dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$u = 1+x$ と置換すると、$x = u - 1$、$dx = du$ となります。

積分範囲は $x:0 \to 3$ より、$u:1 \to 4$ となります。

$\int_0^3 x\sqrt{1+x} dx = \int_1^4 (u-1)\sqrt{u} du = \int_1^4 (u^{3/2} - u^{1/2}) du = [\frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2}]_1^4$

$= (\frac{2}{5}(4)^{5/2} - \frac{2}{3}(4)^{3/2}) - (\frac{2}{5} - \frac{2}{3}) = (\frac{2}{5}(32) - \frac{2}{3}(8)) - (\frac{6-10}{15}) = \frac{64}{5} - \frac{16}{3} + \frac{4}{15} = \frac{192 - 80 + 4}{15} = \frac{116}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{116}{15}$

## 問題 6 の回答

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 \log(1+\sqrt{x}) dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$t = \sqrt{x}$ と置換すると、$x = t^2$, $dx = 2t dt$ となります。

積分範囲は $x:0 \to 1$ より、$t:0 \to 1$ となります。

$\int_0^1 \log(1+\sqrt{x}) dx = \int_0^1 \log(1+t) 2t dt = 2 \int_0^1 t \log(1+t) dt$

部分積分： $u = \log(1+t)$, $dv = t dt$ とすると、$du = \frac{1}{1+t} dt$, $v = \frac{1}{2}t^2$ となります。

$2 \int_0^1 t \log(1+t) dt = 2 [\frac{1}{2}t^2 \log(1+t)]_0^1 - 2 \int_0^1 \frac{1}{2}t^2 \frac{1}{1+t} dt = [t^2 \log(1+t)]_0^1 - \int_0^1 \frac{t^2}{1+t} dt$

$= 1^2 \log(2) - 0^2 \log(1) - \int_0^1 \frac{t^2}{1+t} dt = \log 2 - \int_0^1 \frac{t^2}{1+t} dt$

$\int_0^1 \frac{t^2}{1+t} dt = \int_0^1 \frac{t^2 - 1 + 1}{1+t} dt = \int_0^1 \frac{(t-1)(t+1) + 1}{1+t} dt = \int_0^1 (t-1 + \frac{1}{1+t}) dt$

$= [\frac{1}{2}t^2 - t + \log(1+t)]_0^1 = (\frac{1}{2} - 1 + \log 2) - (0 - 0 + \log 1) = -\frac{1}{2} + \log 2$

$\int_0^1 \log(1+\sqrt{x}) dx = \log 2 - (-\frac{1}{2} + \log 2) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$

## 問題 7 の回答

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^2 x^3 e^{x^2} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$u = x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ より、$x dx = \frac{1}{2}du$ となります。

積分範囲は $x:0 \to 2$ より、$u:0 \to 4$ となります。

$\int_0^2 x^3 e^{x^2} dx = \int_0^2 x^2 e^{x^2} x dx = \int_0^4 u e^u \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int_0^4 u e^u du$

部分積分： $f(u) = u$, $g'(u) = e^u$ とすると、$f'(u) = 1$, $g(u) = e^u$ となります。

$\frac{1}{2} \int_0^4 u e^u du = \frac{1}{2} ([u e^u]_0^4 - \int_0^4 e^u du) = \frac{1}{2} (4e^4 - [e^u]_0^4) = \frac{1}{2} (4e^4 - (e^4 - e^0)) = \frac{1}{2} (3e^4 + 1) = \frac{3e^4 + 1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3e^4 + 1}{2}$

## 問題 8 の回答

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{4}{(x^2-1)^2} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{4}{(x^2-1)^2} = \frac{4}{(x-1)^2 (x+1)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+1} + \frac{D}{(x+1)^2}$

$4 = A(x-1)(x+1)^2 + B(x+1)^2 + C(x+1)(x-1)^2 + D(x-1)^2$

$x=1$: $4 = 4B \Rightarrow B=1$

$x=-1$: $4 = 4D \Rightarrow D=1$

$4 = A(x-1)(x^2+2x+1) + (x^2+2x+1) + C(x+1)(x^2-2x+1) + (x^2-2x+1)$

$4 = A(x^3+x^2-x-1) + x^2+2x+1 + C(x^3-x^2-x+1) + x^2-2x+1$

$x^3$: $0 = A + C$

$x^2$: $0 = A + 1 - C + 1 = A - C + 2$

$x^3$: $A = -C$

$A - C + 2 = -C - C + 2 = -2C + 2 = 0 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow A = -1$

$\int \frac{4}{(x^2-1)^2} dx = \int (-\frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}) dx = -\log|x-1| - \frac{1}{x-1} + \log|x+1| - \frac{1}{x+1} + C$

$= \log|\frac{x+1}{x-1}| - \frac{x+1+x-1}{(x-1)(x+1)} + C = \log|\frac{x+1}{x-1}| - \frac{2x}{x^2-1} + C$

$\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{4}{(x^2-1)^2} dx = [\log|\frac{x+1}{x-1}| - \frac{2x}{x^2-1}]_0^{\frac{1}{2}} = (\log|\frac{3/2}{-1/2}| - \frac{1}{1/4-1}) - (\log(1) - 0) = \log 3 - \frac{1}{-3/4} = \log 3 + \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\log 3 + \frac{4}{3}$

## 問題 9 の回答

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 \frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 1}{(x^2+1)(x+1)} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 1}{(x^2+1)(x+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{C}{x+1}$

$x^3 + 2x^2 + 4x + 1 = (Ax+B)(x+1) + C(x^2+1) = Ax^2 + Ax + Bx + B + Cx^2 + C$

$x^3 + 2x^2 + 4x + 1 = (A+C)x^2 + (A+B)x + (B+C)$

$A+C=2$, $A+B=4$, $B+C=1$

$A = 4-B$, $C = 1-B$, $4-B+1-B = 2 \Rightarrow 5-2B = 2 \Rightarrow 2B = 3 \Rightarrow B = \frac{3}{2}$

$A = 4-\frac{3}{2} = \frac{5}{2}$, $C = 1-\frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

$\int_0^1 \frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 1}{(x^2+1)(x+1)} dx = \int_0^1 (\frac{\frac{5}{2}x + \frac{3}{2}}{x^2+1} - \frac{\frac{1}{2}}{x+1}) dx = \frac{5}{2}\int_0^1 \frac{x}{x^2+1} dx + \frac{3}{2}\int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx - \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{1}{x+1} dx$

$= \frac{5}{4}[\log(x^2+1)]_0^1 + \frac{3}{2}[\arctan x]_0^1 - \frac{1}{2}[\log|x+1|]_0^1 = \frac{5}{4}(\log 2) + \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log 2 = \frac{3}{4}\log 2 + \frac{3}{8}\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8}\pi + \frac{3}{4}\log 2$

## 問題 10 の回答

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2 x} dx = [-\cot x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} = -\cot(\frac{\pi}{4}) - (-\cot(\frac{\pi}{6})) = -1 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} - 1$