曲線 $x = a \cos(\omega t)$, $y = a \sin(\omega t)$, $z = t$ ($0 \leq t \leq \frac{2\pi}{\omega}$) の長さを求めよ。ただし、$a, \omega$ は正の定数である。

1. 問題の内容

曲線 $x = a \cos(\omega t)$, $y = a \sin(\omega t)$, $z = t$ ($0 \leq t \leq \frac{2\pi}{\omega}$) の長さを求めよ。ただし、$a, \omega$ は正の定数である。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、次のように計算される。

$L = \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} dt$

まず、それぞれの導関数を計算する。

$\frac{dx}{dt} = -a\omega \sin(\omega t)$

$\frac{dy}{dt} = a\omega \cos(\omega t)$

$\frac{dz}{dt} = 1$

これらの導関数を上記の積分式に代入する。

$L = \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}} \sqrt{(-a\omega \sin(\omega t))^2 + (a\omega \cos(\omega t))^2 + 1^2} dt$

$L = \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}} \sqrt{a^2\omega^2 \sin^2(\omega t) + a^2\omega^2 \cos^2(\omega t) + 1} dt$

$L = \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}} \sqrt{a^2\omega^2 (\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)) + 1} dt$

$\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t) = 1$ なので、

$L = \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}} \sqrt{a^2\omega^2 + 1} dt$

被積分関数は $t$ に依存しないので、簡単に積分できる。

$L = \sqrt{a^2\omega^2 + 1} \int_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}} dt$

$L = \sqrt{a^2\omega^2 + 1} \left[ t \right]_{0}^{\frac{2\pi}{\omega}}$

$L = \sqrt{a^2\omega^2 + 1} \left( \frac{2\pi}{\omega} - 0 \right)$

$L = \frac{2\pi}{\omega} \sqrt{a^2\omega^2 + 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{\omega} \sqrt{a^2\omega^2 + 1}$