問題文は、与えられた関数 $f(x, y)$ の等高線 $f(x, y) = 0$ について、点 $(1, 2)$ における傾きを求めるものです。具体的には以下の3つの関数について求めます。 a) $f(x, y) = x^2 + y^2 - 5$ b) $f(x, y) = e^{x^2 + y^2} - e^5$ c) $f(x, y) = \sqrt{xy}$

1. 問題の内容

問題文は、与えられた関数 $f(x, y)$ の等高線 $f(x, y) = 0$ について、点 $(1, 2)$ における傾きを求めるものです。具体的には以下の3つの関数について求めます。

a) $f(x, y) = x^2 + y^2 - 5$

b) $f(x, y) = e^{x^2 + y^2} - e^5$

c) $f(x, y) = \sqrt{xy}$

2. 解き方の手順

等高線 $f(x, y) = 0$ の傾きは、陰関数の微分を用いて求めます。

まず、$f(x, y) = 0$ を $x$ で微分します。連鎖律を用いて、

$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0$

を得ます。

したがって、$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$となります。

ここで、$\frac{dy}{dx}$は等高線の傾きを表します。各関数について、偏微分を計算し、$(1, 2)$ における傾きを求めます。

a) $f(x, y) = x^2 + y^2 - 5$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2y$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$

$(1, 2)$ における傾きは $-\frac{1}{2}$ です。

b) $f(x, y) = e^{x^2 + y^2} - e^5$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xe^{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2ye^{x^2 + y^2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2xe^{x^2 + y^2}}{2ye^{x^2 + y^2}} = -\frac{x}{y}$

$(1, 2)$ における傾きは $-\frac{1}{2}$ です。

c) $f(x, y) = \sqrt{xy}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{x}}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x}{y}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{x}}}{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{x}{y}}} = -\frac{y}{x}$

$(1, 2)$ における傾きは $-\frac{2}{1} = -2$ です。

3. 最終的な答え

a) $-\frac{1}{2}$

b) $-\frac{1}{2}$

c) $-2$