問題1は、与えられた関数 $f(x, y)$ の等高線 $f(x, y) = 0$ について、点$(1, 2)$における傾きを求める問題です。 具体的には、以下の3つの関数について傾きを計算します。 a) $f(x, y) = x^2 + y^2 - 5$ b) $f(x, y) = e^{x^2+y^2} - e^5$ c) $f(x, y) = \sqrt{xy}$

解析学陰関数偏微分勾配等高線多変数関数
2025/7/14

1. 問題の内容

問題1は、与えられた関数 f(x,y)f(x, y) の等高線 f(x,y)=0f(x, y) = 0 について、点(1,2)(1, 2)における傾きを求める問題です。
具体的には、以下の3つの関数について傾きを計算します。
a) f(x,y)=x2+y25f(x, y) = x^2 + y^2 - 5
b) f(x,y)=ex2+y2e5f(x, y) = e^{x^2+y^2} - e^5
c) f(x,y)=xyf(x, y) = \sqrt{xy}

2. 解き方の手順

等高線 f(x,y)=0f(x, y) = 0 の傾きは、陰関数定理を用いて求めることができます。
陰関数定理によれば、dy/dx=(f/x)/(f/y)dy/dx = -(\partial f / \partial x) / (\partial f / \partial y)となります。
a) f(x,y)=x2+y25f(x, y) = x^2 + y^2 - 5 の場合:
偏微分を計算します。
f/x=2x\partial f / \partial x = 2x
f/y=2y\partial f / \partial y = 2y
したがって、dy/dx=(2x)/(2y)=x/ydy/dx = - (2x) / (2y) = -x/y
(1,2)(1, 2)における傾きは、 dy/dx=1/2dy/dx = -1/2
b) f(x,y)=ex2+y2e5f(x, y) = e^{x^2 + y^2} - e^5 の場合:
偏微分を計算します。
f/x=2xex2+y2\partial f / \partial x = 2x e^{x^2 + y^2}
f/y=2yex2+y2\partial f / \partial y = 2y e^{x^2 + y^2}
したがって、dy/dx=(2xex2+y2)/(2yex2+y2)=x/ydy/dx = - (2x e^{x^2 + y^2}) / (2y e^{x^2 + y^2}) = -x/y
(1,2)(1, 2)における傾きは、dy/dx=1/2dy/dx = -1/2
c) f(x,y)=xyf(x, y) = \sqrt{xy} の場合:
偏微分を計算します。
f/x=12y/x\partial f / \partial x = \frac{1}{2} \sqrt{y/x}
f/y=12x/y\partial f / \partial y = \frac{1}{2} \sqrt{x/y}
したがって、dy/dx=(12y/x)/(12x/y)=y/xdy/dx = - (\frac{1}{2} \sqrt{y/x}) / (\frac{1}{2} \sqrt{x/y}) = -y/x
(1,2)(1, 2)における傾きは、dy/dx=2/1=2dy/dx = -2/1 = -2

3. 最終的な答え

a) f(x,y)=x2+y25f(x, y) = x^2 + y^2 - 5 のとき、(1,2)(1, 2)における傾きは 1/2-1/2
b) f(x,y)=ex2+y2e5f(x, y) = e^{x^2 + y^2} - e^5 のとき、(1,2)(1, 2)における傾きは 1/2-1/2
c) f(x,y)=xyf(x, y) = \sqrt{xy} のとき、(1,2)(1, 2)における傾きは 2-2

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