$a > 1$ とする。2点 $(1, 0)$, $(a, \log a)$ を通る直線を $\ell$ とする。$\ell$ と曲線 $y = \log x$ で囲まれた図形の面積が2より大きくなるのは、$a > \square$ のときである。空欄を埋める問題。

1. 問題の内容

$a > 1$ とする。2点 $(1, 0)$, $(a, \log a)$ を通る直線を $\ell$ とする。$\ell$ と曲線 $y = \log x$ で囲まれた図形の面積が2より大きくなるのは、$a > \square$ のときである。空欄を埋める問題。

2. 解き方の手順

まず、2点 $(1, 0)$, $(a, \log a)$ を通る直線 $\ell$ の方程式を求める。傾きは $\frac{\log a - 0}{a - 1} = \frac{\log a}{a - 1}$ であるから、直線 $\ell$ の方程式は $y = \frac{\log a}{a - 1} (x - 1)$ となる。

次に、$\ell$ と曲線 $y = \log x$ で囲まれた図形の面積 $S$ を計算する。積分範囲は $1 \le x \le a$ であり、$S$ は次のように表される。

$S = \int_{1}^{a} \left( \frac{\log a}{a - 1} (x - 1) - \log x \right) dx$

$S = \frac{\log a}{a - 1} \int_{1}^{a} (x - 1) dx - \int_{1}^{a} \log x dx$

$\int_{1}^{a} (x - 1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_{1}^{a} = \frac{a^2}{2} - a - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = \frac{a^2}{2} - a + \frac{1}{2} = \frac{(a - 1)^2}{2}$

$\int_{1}^{a} \log x dx = [x \log x - x]_{1}^{a} = a \log a - a - (1 \log 1 - 1) = a \log a - a + 1$

したがって、

$S = \frac{\log a}{a - 1} \cdot \frac{(a - 1)^2}{2} - (a \log a - a + 1) = \frac{(a - 1) \log a}{2} - a \log a + a - 1 = a - 1 - \frac{(a + 1) \log a}{2}$

問題の条件は $S > 2$ であるから、

$a - 1 - \frac{(a + 1) \log a}{2} > 2$

$2a - 2 - (a + 1) \log a > 4$

$2a - 6 > (a + 1) \log a$

$f(a) = (a + 1) \log a - 2a + 6 > 0$ を満たす $a$ の範囲を求める。

ここで、$a = 7$ を代入すると、

$f(7) = 8 \log 7 - 14 + 6 = 8 \log 7 - 8 = 8(\log 7 - 1) \approx 8(1.946 - 1) = 8(0.946) = 7.568 > 0$

$a = 8$ を代入すると、

$f(8) = 9 \log 8 - 16 + 6 = 9 \log 8 - 10 = 9(3 \log 2) - 10 \approx 27(0.693) - 10 = 18.711 - 10 = 8.711 > 0$

$a = 6$ を代入すると、

$f(6) = 7 \log 6 - 12 + 6 = 7 \log 6 - 6 \approx 7(1.79) - 6 = 12.53 - 6 = 6.53 > 0$

$a = 5$ を代入すると、

$f(5) = 6 \log 5 - 10 + 6 = 6 \log 5 - 4 \approx 6(1.609) - 4 = 9.654 - 4 = 5.654 > 0$

$a = 4$ を代入すると、

$f(4) = 5 \log 4 - 8 + 6 = 5 \log 4 - 2 = 5 (2 \log 2) - 2 \approx 10(0.693) - 2 = 6.93 - 2 = 4.93 > 0$

$a = e^2$ を代入すると、

$f(e^2) = (e^2 + 1) \log(e^2) - 2e^2 + 6 = 2(e^2 + 1) - 2e^2 + 6 = 2e^2 + 2 - 2e^2 + 6 = 8 > 0$

$e^2 \approx 7.38$ なので、$a > 7$ あたりが適切と考えられる。

3. 最終的な答え

7