$a > 1$ とする。直線 $l$ は点 $(1, 0)$ と $(a, \log a)$ を通る。直線 $l$ と曲線 $y = \log x$ で囲まれた図形の面積が $2$ より大きくなるのは $a > \square$ のときである。$\square$ に入る数字を求める。

1. 問題の内容

$a > 1$ とする。直線 $l$ は点 $(1, 0)$ と $(a, \log a)$ を通る。直線 $l$ と曲線 $y = \log x$ で囲まれた図形の面積が $2$ より大きくなるのは $a > \square$ のときである。$\square$ に入る数字を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線 $l$ の方程式を求める。$l$ は $(1, 0)$ と $(a, \log a)$ を通るので、傾きは $\frac{\log a - 0}{a - 1} = \frac{\log a}{a - 1}$ である。したがって、直線 $l$ の方程式は、

$y - 0 = \frac{\log a}{a - 1}(x - 1)$

$y = \frac{\log a}{a - 1}(x - 1)$

次に、囲まれた図形の面積を求める。面積 $S$ は、積分を使って計算できる。

$S = \int_1^a \left( \frac{\log a}{a - 1}(x - 1) - \log x \right) dx$

$S = \frac{\log a}{a - 1} \int_1^a (x - 1) dx - \int_1^a \log x dx$

ここで、$\int (x - 1) dx = \frac{x^2}{2} - x + C$ なので、

$\int_1^a (x - 1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_1^a = \left( \frac{a^2}{2} - a \right) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = \frac{a^2}{2} - a + \frac{1}{2} = \frac{(a - 1)^2}{2}$

また、$\int \log x dx = x \log x - x + C$ なので、

$\int_1^a \log x dx = [x \log x - x]_1^a = (a \log a - a) - (1 \log 1 - 1) = a \log a - a + 1$

したがって、

$S = \frac{\log a}{a - 1} \cdot \frac{(a - 1)^2}{2} - (a \log a - a + 1)$

$S = \frac{(a - 1) \log a}{2} - a \log a + a - 1$

$S = \left(\frac{1}{2} (a - 1) - a \right) \log a + a - 1$

$S = \left(\frac{a}{2} - \frac{1}{2} - a \right) \log a + a - 1$

$S = \left(-\frac{a}{2} - \frac{1}{2} \right) \log a + a - 1$

$S = -\frac{a + 1}{2} \log a + a - 1$

問題では、$S > 2$ となる $a$ の範囲を求める。

$-\frac{a + 1}{2} \log a + a - 1 > 2$

$-\frac{a + 1}{2} \log a + a - 3 > 0$

ここで、$a = e^2$ のとき、$-\frac{e^2 + 1}{2} \cdot 2 + e^2 - 3 = -e^2 - 1 + e^2 - 3 = -4 < 0$

$a = e^3$ のとき、$-\frac{e^3 + 1}{2} \cdot 3 + e^3 - 3 = -\frac{3}{2} e^3 - \frac{3}{2} + e^3 - 3 = -\frac{1}{2} e^3 - \frac{9}{2} < 0$

$a = 8$ のとき、$S = -\frac{9}{2} \log 8 + 8 - 1 = -\frac{9}{2} \cdot 3 \log 2 + 7 = -\frac{27}{2} \log 2 + 7$

ここで、$\log 2 \approx 0.693$ なので、$S \approx -\frac{27}{2} \cdot 0.693 + 7 \approx -9.3555 + 7 \approx -2.3555 < 2$

$a = e^4$ を試してみると，$S = -\frac{e^4 + 1}{2} \cdot 4 + e^4 - 1 = -2e^4 - 2 + e^4 - 1 = -e^4 - 3 < 0$

ここで、数値を代入して評価していく。$a = 8$ のとき、$S = -\frac{8+1}{2} \log 8 + 8 - 1 = -\frac{9}{2} \log 8 + 7 = -\frac{27}{2} \log 2 + 7$.

$\log 2 \approx 0.69$ として、$S \approx -\frac{27}{2} (0.69) + 7 \approx -9.315 + 7 = -2.315$.

$a = 9$ のとき、$S = -\frac{10}{2} \log 9 + 9 - 1 = -5 \log 9 + 8 = -10 \log 3 + 8$.

$\log 3 \approx 1.1$ として、$S \approx -10(1.1) + 8 = -11 + 8 = -3$.

$a = e$ のとき、$S = -\frac{e + 1}{2} + e - 1 = \frac{e - 3}{2}$. $e \approx 2.718$ なので、$S \approx -\frac{0.282}{2} < 0$.

$a=10$ のとき、$S = -\frac{11}{2} \log 10 + 9 = -\frac{11}{2} + 9 = 3.5$

よって、$a > 10$.

3. 最終的な答え

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