$a$ を正の定数とするとき、関数 $f(x) = x^3 - 3ax$ の $-1 \le x \le 1$ における最小値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とするとき、関数 $f(x) = x^3 - 3ax$ の $-1 \le x \le 1$ における最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分して、極値を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 3a$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 3a = 0$

$x^2 = a$

$x = \pm \sqrt{a}$

次に、$-\sqrt{a}$ と $\sqrt{a}$ が区間 $-1 \le x \le 1$ に含まれるかどうかで場合分けをします。

場合1：$a \le 1$ のとき

$-\sqrt{a}$ と $\sqrt{a}$ は区間 $-1 \le x \le 1$ に含まれます。

$f(-\sqrt{a}) = (-\sqrt{a})^3 - 3a(-\sqrt{a}) = -a\sqrt{a} + 3a\sqrt{a} = 2a\sqrt{a}$

$f(\sqrt{a}) = (\sqrt{a})^3 - 3a(\sqrt{a}) = a\sqrt{a} - 3a\sqrt{a} = -2a\sqrt{a}$

区間の端の値を調べます。

$f(-1) = (-1)^3 - 3a(-1) = -1 + 3a$

$f(1) = (1)^3 - 3a(1) = 1 - 3a$

$a>0$ なので、$2a\sqrt{a} > -2a\sqrt{a}$。

$1-3a$ と $-2a\sqrt{a}$ の大小関係を調べます。

$1-3a < -2a\sqrt{a} \Leftrightarrow 1 - 3a + 2a\sqrt{a} < 0$

$f(x)$の増減表を考えます。

$x < -\sqrt{a}$ で $f'(x) > 0$, $-\sqrt{a} < x < \sqrt{a}$ で $f'(x) < 0$, $x > \sqrt{a}$ で $f'(x) > 0$。

したがって、$f(x)$ は $x = -\sqrt{a}$ で極大、 $x = \sqrt{a}$ で極小となります。

$x = \sqrt{a}$ で最小値 $f(\sqrt{a}) = -2a\sqrt{a}$ をとります。

場合2：$a > 1$ のとき

$-\sqrt{a}$ と $\sqrt{a}$ は区間 $-1 \le x \le 1$ に含まれません。

このとき、$f'(x) = 3x^2 - 3a < 0$ ( $-1 \le x \le 1$ )となるので、$f(x)$ は単調減少です。

したがって、$x = 1$ で最小値 $f(1) = 1 - 3a$ をとります。

まとめ

$0 < a \le 1$ のとき、最小値は $-2a\sqrt{a}$

$a > 1$ のとき、最小値は $1 - 3a$

3. 最終的な答え

$0 < a \le 1$ のとき、最小値は $-2a\sqrt{a}$

$a > 1$ のとき、最小値は $1 - 3a$