$n, p, q$ を正の整数とするとき、積分 $\int_{-1}^{1} x(3x^n - px - q)^2 dx = 0$ となるための $n, p, q$ の条件を求める。

1. 問題の内容

$n, p, q$ を正の整数とするとき、積分 $\int_{-1}^{1} x(3x^n - px - q)^2 dx = 0$ となるための $n, p, q$ の条件を求める。

2. 解き方の手順

被積分関数 $x(3x^n - px - q)^2$ を展開する。

$x(3x^n - px - q)^2 = x(9x^{2n} + p^2x^2 + q^2 - 6px^{n+1} - 6qx^n + 2pqx) = 9x^{2n+1} + p^2x^3 + q^2x - 6px^{n+2} - 6qx^{n+1} + 2pqx^2$

この関数を $-1$ から $1$ まで積分する。

$\int_{-1}^{1} x^{k} dx$ は、$k$ が偶数のとき $2/(k+1)$ 、奇数のとき $0$ になることを利用する。

$\int_{-1}^{1} (9x^{2n+1} + p^2x^3 + q^2x - 6px^{n+2} - 6qx^{n+1} + 2pqx^2) dx = 0$

$9\int_{-1}^{1} x^{2n+1}dx + p^2\int_{-1}^{1} x^3dx + q^2\int_{-1}^{1} xdx - 6p\int_{-1}^{1} x^{n+2}dx - 6q\int_{-1}^{1} x^{n+1}dx + 2pq\int_{-1}^{1} x^2dx = 0$

$0 + 0 + 0 - 6p\int_{-1}^{1} x^{n+2}dx - 6q\int_{-1}^{1} x^{n+1}dx + 2pq\int_{-1}^{1} x^2dx = 0$

$- 6p\int_{-1}^{1} x^{n+2}dx - 6q\int_{-1}^{1} x^{n+1}dx + 2pq\int_{-1}^{1} x^2dx = 0$

(i) $n$ が奇数のとき、$n+2$ は奇数、$n+1$ は偶数。

$-6p \cdot 0 - 6q \cdot \frac{2}{n+2} + 2pq \cdot \frac{2}{3} = 0$

$-\frac{12q}{n+2} + \frac{4pq}{3} = 0$

$\frac{4q}{3}(p - \frac{3}{n+2}) = 0$

$q$ は正の整数なので、$p = \frac{3}{n+2}$

$p$ は正の整数なので、$n+2$ は $3$ の約数である必要がある。

$n+2 = 1, 3$。$n= -1, 1$

$n$ は正の整数なので、$n = 1$

$p = 1$

$n = 1, p = 1$ であれば、$q$ は任意の正の整数でよい。

(ii) $n$ が偶数のとき、$n+2$ は偶数、$n+1$ は奇数。

$-6p \cdot \frac{2}{n+3} - 6q \cdot 0 + 2pq \cdot \frac{2}{3} = 0$

$-\frac{12p}{n+3} + \frac{4pq}{3} = 0$

$\frac{4p}{3}(q - \frac{9}{n+3}) = 0$

$p$ は正の整数なので、$q = \frac{9}{n+3}$

$q$ は正の整数なので、$n+3$ は $9$ の約数である必要がある。

$n+3 = 1, 3, 9$。$n = -2, 0, 6$

$n$ は正の整数なので、$n = 6$

$q = 1$

$n = 6, q = 1$ であれば、$p$ は任意の正の整数でよい。

3. 最終的な答え

$n=1, p=1$ のとき、$q$ は任意の正の整数。

$n=6, q=1$ のとき、$p$ は任意の正の整数。