実数 $k$ を定数とする。方程式 $x^3 - 3x^2 - k = 0$ が異なる3つの実数解 $\alpha, \beta, \gamma$ （$\alpha < \beta < \gamma$）を持つとき、以下の問いに答える。 (1) $k$ のとり得る値の範囲を求めよ。 (2) $\alpha$ のとり得る値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $k$ を定数とする。方程式 $x^3 - 3x^2 - k = 0$ が異なる3つの実数解 $\alpha, \beta, \gamma$ （$\alpha < \beta < \gamma$）を持つとき、以下の問いに答える。

(1) $k$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $\alpha$ のとり得る値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = x^3 - 3x^2$ とおく。

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ 。

増減表は以下のようになる。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

|------|-----|----|-----|----|-----|

| f'(x)| + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | 0 | ↓ | -4 | ↑ |

$x^3 - 3x^2 - k = 0$ が異なる3つの実数解を持つためには、$y = f(x)$ のグラフと $y = k$ のグラフが異なる3点で交わる必要がある。したがって、 $-4 < k < 0$ である。

(2)

$f(x) = x^3 - 3x^2$ のグラフを考える。$\alpha$ は $f(x) = k$ の最小の解である。

$f(x) = k$ が異なる3つの実数解を持つとき、$x = 0$ で極大値 $0$ をとり、$x = 2$ で極小値 $-4$ をとるので、$f(x)$ のグラフは、$x=0$ の左側から増加してきて、極大値$0$をとった後、減少して、$x=2$で極小値$-4$をとって、再び増加していく。

したがって、$k$ の値が $-4 < k < 0$ の範囲にあるとき、$\alpha$ は常に $x < 0$ の範囲に存在する。

$x^3 - 3x^2 = -4$ を解くと、

$x^3 - 3x^2 + 4 = 0$

$(x+1)(x-2)^2 = 0$

$x = -1, 2$

$k$が-4に近づくとき、3つの解のうちの2つは$x=2$に近づき、残りの1つは$x=-1$に近づく。

$f(x)=0$を解くと、$x^3-3x^2=0$より、$x^2(x-3)=0$なので、$x=0,3$。

$k$が0に近づくとき、3つの解のうち2つは$x=0$に近づき、残りの1つは$x=3$に近づく。

$\alpha < \beta < \gamma$ なので、$\alpha$ は最小の解である。

したがって、$-1 < \alpha < 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $-4 < k < 0$

(2) $-1 < \alpha < 0$