$x = (x_1, ..., x_n)$, $y = (y_1, ..., y_n)$, $z = (z_1, ..., z_n) \in \mathbb{R}^n$ に対し、距離 $d_1(x, y)$, $d_2(x, y)$, $d_\infty(x, y)$ について、以下の問いに答える。 (1) 任意の $x, y, z \in \mathbb{R}^n$ に対し、$d_\infty(x, y) \le d_\infty(x, z) + d_\infty(z, y)$ が成り立つことを示す。 (2) 「任意の $x, y \in \mathbb{R}^n$ に対し、$d_1(x, y) \le C_1 d_2(x, y)$ が成り立つ」ような $C_1 > 0$ で最も小さい定数を求める。 (3) (1) で求めた $C_1 > 0$ に対し、等式が成り立つ $x, y \in \mathbb{R}^n$ を具体的に一つ挙げる。 (4) 「任意の $x, y \in \mathbb{R}^n$ に対し、$d_\infty(x, y) \le C_2 d_2(x, y)$ が成り立つ」ような $C_2 > 0$ で最も小さい定数を求める。 (5) (3) で求めた $C_2 > 0$ に対し、等式が成り立つ $x, y \in \mathbb{R}^n$ を具体的に一つ挙げる。

## 2.6の問題

1. 問題の内容

$x = (x_1, ..., x_n)$, $y = (y_1, ..., y_n)$, $z = (z_1, ..., z_n) \in \mathbb{R}^n$ に対し、距離 $d_1(x, y)$, $d_2(x, y)$, $d_\infty(x, y)$ について、以下の問いに答える。

(1) 任意の $x, y, z \in \mathbb{R}^n$ に対し、$d_\infty(x, y) \le d_\infty(x, z) + d_\infty(z, y)$ が成り立つことを示す。

(2) 「任意の $x, y \in \mathbb{R}^n$ に対し、$d_1(x, y) \le C_1 d_2(x, y)$ が成り立つ」ような $C_1 > 0$ で最も小さい定数を求める。

(3) (1) で求めた $C_1 > 0$ に対し、等式が成り立つ $x, y \in \mathbb{R}^n$ を具体的に一つ挙げる。

(4) 「任意の $x, y \in \mathbb{R}^n$ に対し、$d_\infty(x, y) \le C_2 d_2(x, y)$ が成り立つ」ような $C_2 > 0$ で最も小さい定数を求める。

(5) (3) で求めた $C_2 > 0$ に対し、等式が成り立つ $x, y \in \mathbb{R}^n$ を具体的に一つ挙げる。

2. 解き方の手順

(1) $d_\infty(x, y) = \max_{1 \le i \le n} |x_i - y_i|$ なので、三角不等式を利用する。

任意の $1 \le i \le n$ に対して、

$|x_i - y_i| = |x_i - z_i + z_i - y_i| \le |x_i - z_i| + |z_i - y_i|$

よって、

$d_\infty(x, y) = \max_{1 \le i \le n} |x_i - y_i| \le \max_{1 \le i \le n} (|x_i - z_i| + |z_i - y_i|) \le \max_{1 \le i \le n} |x_i - z_i| + \max_{1 \le i \le n} |z_i - y_i| = d_\infty(x, z) + d_\infty(z, y)$

(2) $d_1(x, y) = \sum_{i=1}^n |x_i - y_i|$, $d_2(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$ である。

Cauchy-Schwarzの不等式より、$d_1(x,y) = \sum_{i=1}^n |x_i - y_i| \cdot 1 \le \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n 1^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} \sqrt{n} = \sqrt{n} d_2(x, y)$.

したがって、$C_1 = \sqrt{n}$ が最も小さい定数。

(3) $x = (1, 0, ..., 0)$, $y = (0, 0, ..., 0)$ のとき、$d_1(x, y) = 1$, $d_2(x, y) = 1$。

$d_1(x, y) = \sqrt{n} d_2(x, y)$ が成り立つのは、$n = 1$ のときのみ。

$x = (1, 1, ..., 1)$, $y = (0, 0, ..., 0)$とすると、$d_1(x, y) = n$、$d_2(x,y) = \sqrt{n}$なので、$d_1(x, y) = \sqrt{n} d_2(x, y)$ が成り立つ。

(4) $d_\infty(x, y) = \max_{1 \le i \le n} |x_i - y_i|$, $d_2(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}$ である。

任意の $1 \le i \le n$ に対し、 $|x_i - y_i| \le d_\infty(x, y)$ であるから、

$d_2(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} \le \sqrt{\sum_{i=1}^n (d_\infty(x, y))^2} = \sqrt{n (d_\infty(x, y))^2} = \sqrt{n} d_\infty(x, y)$.

よって、$d_\infty(x, y) \ge \frac{1}{\sqrt{n}} d_2(x,y)$. つまり、$d_\infty(x,y) \le C_2 d_2(x, y)$とすると$C_2 \ge \frac{d_\infty(x,y)}{d_2(x,y)}$となる。

$d_2(x, y) \le \sqrt{n} d_\infty(x, y)$ なので、$d_\infty(x, y) \ge \frac{1}{\sqrt{n}} d_2(x, y)$が成り立つ。

$x = (1, 0, ..., 0)$, $y = (0, 0, ..., 0)$ のとき、$d_\infty(x, y) = 1$, $d_2(x, y) = 1$。この時、$C_2 = 1$となる。

$x = (1, 1, ..., 1)$, $y = (0, 0, ..., 0)$ のとき、$d_\infty(x, y) = 1$, $d_2(x, y) = \sqrt{n}$。この時、$C_2 = \frac{1}{\sqrt{n}}$となる。

したがって、$C_2 = 1$ が最も小さい定数。

(5) $x = (1, 0, ..., 0)$, $y = (0, 0, ..., 0)$ のとき、$d_\infty(x, y) = 1$, $d_2(x, y) = 1$。$d_\infty(x, y) = C_2 d_2(x, y)$ が成り立つ ($C_2=1$)。

3. 最終的な答え

(1) $d_\infty(x, y) \le d_\infty(x, z) + d_\infty(z, y)$

(2) $C_1 = \sqrt{n}$

(3) 例： $x = (1, 1, ..., 1)$, $y = (0, 0, ..., 0)$

(4) $C_2 = 1$

(5) 例： $x = (1, 0, ..., 0)$, $y = (0, 0, ..., 0)$