与えられた関数について、微分を求める問題です。具体的には以下の4つの関数について、それぞれの導関数を計算します。 (1) $f(x) = xe^{-x}$ (2) $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ (3) $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ (2と重複しています) (4) $f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$

1. 問題の内容

与えられた関数について、微分を求める問題です。具体的には以下の4つの関数について、それぞれの導関数を計算します。

(1) $f(x) = xe^{-x}$

(2) $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$

(3) $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ (2と重複しています)

(4) $f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = xe^{-x}$ の場合：

積の微分法を使います。$(uv)' = u'v + uv'$

$u = x$, $v = e^{-x}$ とすると、$u' = 1$, $v' = -e^{-x}$ です。

よって、

$f'(x) = (x)'e^{-x} + x(e^{-x})' = 1 \cdot e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1-x)$

(2) $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ の場合：

商の微分法を使います。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = x^2$, $v = x-1$ とすると、$u' = 2x$, $v' = 1$ です。

よって、

$f'(x) = \frac{(x^2)'(x-1) - x^2(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{2x(x-1) - x^2(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$

(3) $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ の場合：

これは(2)と同じ関数なので、同じ結果になります。

(4) $f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$ の場合：

合成関数の微分法を使います。$f(x) = \frac{1}{g(x)}$のとき、$f'(x) = -\frac{g'(x)}{g(x)^2}$

$g(x) = 1 + e^{-x}$ とすると、$g'(x) = -e^{-x}$ です。

よって、

$f'(x) = -\frac{-e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$

もしくは、$f(x) = (1 + e^{-x})^{-1}$ と見て計算することもできます。

$f'(x) = -1(1+e^{-x})^{-2} \cdot (-e^{-x}) = (1+e^{-x})^{-2}e^{-x} = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$

この式は、$f'(x) = f(x)(1-f(x))$とも書けます。なぜなら、$f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$より、$1-f(x) = 1 - \frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{1+e^{-x}-1}{1+e^{-x}} = \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$なので、$f(x)(1-f(x)) = \frac{1}{1+e^{-x}} \cdot \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$となるからです。

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = e^{-x}(1-x)$

(2) $f'(x) = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$

(3) $f'(x) = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$

(4) $f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$