問題は以下の2つの極限を計算することです。 (4) $\lim_{x \to 0} (5 - 4\cos x)^{\frac{3}{x^2}}$ (5) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{\log x}$

1. 問題の内容

問題は以下の2つの極限を計算することです。

(4) $\lim_{x \to 0} (5 - 4\cos x)^{\frac{3}{x^2}}$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{\log x}$

2. 解き方の手順

(4) の極限を求めます。

まず、$y = (5 - 4\cos x)^{\frac{3}{x^2}}$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\log y = \frac{3}{x^2} \log (5 - 4\cos x)$

$\lim_{x \to 0} \log y = \lim_{x \to 0} \frac{3 \log (5 - 4\cos x)}{x^2}$

ここで、$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ を使うと、

$5 - 4\cos x = 5 - 4(1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)) = 1 + 2x^2 + O(x^4)$

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$ なので

$\log(5 - 4\cos x) = \log(1 + 2x^2 + O(x^4)) = 2x^2 + O(x^4)$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{3 \log (5 - 4\cos x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{3 (2x^2 + O(x^4))}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{6x^2}{x^2} = 6$

したがって、$\lim_{x \to 0} \log y = 6$ なので、$\lim_{x \to 0} y = e^6$

(5) の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{\log x}$

$-1 \le \sin x \le 1$ であり、$\lim_{x \to \infty} \log x = \infty$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{\log x} = 0$

3. 最終的な答え

(4) $\lim_{x \to 0} (5 - 4\cos x)^{\frac{3}{x^2}} = e^6$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{\log x} = 0$