与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = x^5 + 2x^4$ (2) $y = 3x^6 - 4x^3$ (3) $y = (x+1)(x^3 - 4x)$ (4) $y = (3x^2 - 2)(x^2 + x + 1)$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = x^5 + 2x^4$

(2) $y = 3x^6 - 4x^3$

(3) $y = (x+1)(x^3 - 4x)$

(4) $y = (3x^2 - 2)(x^2 + x + 1)$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^5 + 2x^4$

各項を微分します。$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ の公式を使います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^5) + \frac{d}{dx}(2x^4)$

$\frac{dy}{dx} = 5x^4 + 2(4x^3)$

$\frac{dy}{dx} = 5x^4 + 8x^3$

(2) $y = 3x^6 - 4x^3$

各項を微分します。$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ の公式を使います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^6) - \frac{d}{dx}(4x^3)$

$\frac{dy}{dx} = 3(6x^5) - 4(3x^2)$

$\frac{dy}{dx} = 18x^5 - 12x^2$

(3) $y = (x+1)(x^3 - 4x)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。$u = x+1$、$v = x^3 - 4x$ とおきます。

$u' = \frac{d}{dx}(x+1) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(x^3 - 4x) = 3x^2 - 4$

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv'$

$\frac{dy}{dx} = (1)(x^3 - 4x) + (x+1)(3x^2 - 4)$

$\frac{dy}{dx} = x^3 - 4x + 3x^3 - 4x + 3x^2 - 4$

$\frac{dy}{dx} = 4x^3 + 3x^2 - 8x - 4$

(4) $y = (3x^2 - 2)(x^2 + x + 1)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。$u = 3x^2 - 2$、$v = x^2 + x + 1$ とおきます。

$u' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2) = 6x$

$v' = \frac{d}{dx}(x^2 + x + 1) = 2x + 1$

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv'$

$\frac{dy}{dx} = (6x)(x^2 + x + 1) + (3x^2 - 2)(2x + 1)$

$\frac{dy}{dx} = 6x^3 + 6x^2 + 6x + 6x^3 + 3x^2 - 4x - 2$

$\frac{dy}{dx} = 12x^3 + 9x^2 + 2x - 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 5x^4 + 8x^3$

(2) $\frac{dy}{dx} = 18x^5 - 12x^2$

(3) $\frac{dy}{dx} = 4x^3 + 3x^2 - 8x - 4$

(4) $\frac{dy}{dx} = 12x^3 + 9x^2 + 2x - 2$