関数 $y = 2\cos(a\theta - b)$ のグラフが与えられています。$a > 0$, $0 < b < 2\pi$ の条件のもとで、$a$, $b$, およびグラフ中の点A, B, C, Dの値を求める問題です。

解析学三角関数グラフ周期振幅cos関数
2025/7/13

1. 問題の内容

関数 y=2cos(aθb)y = 2\cos(a\theta - b) のグラフが与えられています。a>0a > 0, 0<b<2π0 < b < 2\pi の条件のもとで、aa, bb, およびグラフ中の点A, B, C, Dの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の周期と振幅を確認します。振幅は2であることはグラフからわかります。周期は、π12\frac{\pi}{12}から5π6\frac{5\pi}{6}までの距離の2倍であることから計算できます。
周期を TT とすると、
T=2(5π6π12)=2(10π12π12)=2(9π12)=18π12=3π2T = 2 \left( \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{12} \right) = 2 \left( \frac{10\pi}{12} - \frac{\pi}{12} \right) = 2 \left( \frac{9\pi}{12} \right) = \frac{18\pi}{12} = \frac{3\pi}{2}
次に、aaを求めます。関数の周期は 2πa\frac{2\pi}{a} であるので、
2πa=3π2\frac{2\pi}{a} = \frac{3\pi}{2}
3πa=4π3\pi a = 4\pi
a=43a = \frac{4}{3}
次に、bbを求めます。y=2cos(aθb)y = 2\cos(a\theta - b)のグラフは、y=2cos(aθ)y = 2\cos(a\theta)のグラフをθ\theta軸方向にba\frac{b}{a}だけ平行移動したものです。与えられたグラフはθ=π12\theta = \frac{\pi}{12}で最大値をとるので、aθb=0a\theta - b = 0が成立します。
aπ12b=0a \frac{\pi}{12} - b = 0
43π12=b\frac{4}{3} \cdot \frac{\pi}{12} = b
b=4π36=π9b = \frac{4\pi}{36} = \frac{\pi}{9}
これでaabbが求まりました。次にA, B, C, Dを求めます。
Aは 5π6\frac{5\pi}{6}から周期の半分だけ進んだところにあるので、
A=5π6+123π2=5π6+3π4=10π+9π12=19π12A = \frac{5\pi}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{4} = \frac{10\pi + 9\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}
Bは関数の最大値なので、y=2y = 2
Cは関数の最小値なので、y=2y = -2
Dはy=0y = 0となる点なので、y=2cos(aθb)=0y=2\cos(a\theta-b) = 0となるときを求める。
aθb=π2a\theta - b = \frac{\pi}{2}
43θπ9=π2\frac{4}{3}\theta - \frac{\pi}{9} = \frac{\pi}{2}
43θ=π2+π9=9π+2π18=11π18\frac{4}{3}\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{9} = \frac{9\pi+2\pi}{18} = \frac{11\pi}{18}
θ=11π1834=11π24\theta = \frac{11\pi}{18}\cdot \frac{3}{4} = \frac{11\pi}{24}
したがって、D=11π24D=\frac{11\pi}{24}

3. 最終的な答え

a=43a = \frac{4}{3}
b=π9b = \frac{\pi}{9}
A=19π12A = \frac{19\pi}{12}
B=2B = 2
C=2C = -2
D=11π24D = \frac{11\pi}{24}

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