次の2つの問題について、図形をx軸の周りに1回転させてできる回転体の表面積を求めます。 (1) 放物線 $y = \sqrt{x}$ ($0 \le x \le 1$) (2) 曲線 $y = \cosh x$ ($0 \le x \le 1$)

1. 問題の内容

次の2つの問題について、図形をx軸の周りに1回転させてできる回転体の表面積を求めます。

(1) 放物線 $y = \sqrt{x}$ ($0 \le x \le 1$)

(2) 曲線 $y = \cosh x$ ($0 \le x \le 1$)

2. 解き方の手順

回転体の表面積は、次の公式で計算できます。

$S = 2\pi \int_a^b y \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

(1) $y = \sqrt{x}$ の場合

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{1}{4x}$

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + \frac{1}{4x} = \frac{4x + 1}{4x}$

$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \frac{\sqrt{4x + 1}}{2\sqrt{x}}$

$S = 2\pi \int_0^1 \sqrt{x} \cdot \frac{\sqrt{4x + 1}}{2\sqrt{x}} dx = \pi \int_0^1 \sqrt{4x + 1} dx$

ここで、$u = 4x + 1$ と置換すると、$du = 4dx$ なので、$dx = \frac{1}{4} du$

$x = 0$ のとき $u = 1$, $x = 1$ のとき $u = 5$

$S = \pi \int_1^5 \sqrt{u} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{\pi}{4} \int_1^5 u^{1/2} du = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^5 = \frac{\pi}{6} \left[ u^{3/2} \right]_1^5 = \frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} - 1)$

(2) $y = \cosh x$ の場合

$\frac{dy}{dx} = \sinh x$

$(\frac{dy}{dx})^2 = \sinh^2 x$

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x$

$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{\cosh^2 x} = \cosh x$

$S = 2\pi \int_0^1 \cosh x \cdot \cosh x dx = 2\pi \int_0^1 \cosh^2 x dx$

$\cosh^2 x = \frac{1 + \cosh 2x}{2}$

$S = 2\pi \int_0^1 \frac{1 + \cosh 2x}{2} dx = \pi \int_0^1 (1 + \cosh 2x) dx = \pi \left[ x + \frac{1}{2} \sinh 2x \right]_0^1 = \pi \left( 1 + \frac{1}{2} \sinh 2 \right) = \pi (1 + \frac{e^2 - e^{-2}}{4})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6} (5\sqrt{5} - 1)$

(2) $\pi (1 + \frac{\sinh 2}{2})$

または

$\pi (1 + \frac{e^2 - e^{-2}}{4})$