$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2x-\pi}$ を、与えられた変数変換 $2x-\pi = t$ を用いて計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2x-\pi}$ を、与えられた変数変換 $2x-\pi = t$ を用いて計算します。

2. 解き方の手順

まず、変数変換 $2x - \pi = t$ を用いて、$x$を$t$で表します。

$2x = t + \pi$

$x = \frac{t + \pi}{2}$

次に、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$t$がどこに近づくか考えます。

$t = 2x - \pi$ なので、

$t \to 2(\frac{\pi}{2}) - \pi = \pi - \pi = 0$

したがって、$t \to 0$となります。

次に、$\cos x$ を $t$ で表します。

$\cos x = \cos(\frac{t + \pi}{2}) = \cos(\frac{t}{2} + \frac{\pi}{2})$

$\cos(\frac{t}{2} + \frac{\pi}{2}) = - \sin(\frac{t}{2})$

与えられた極限を$t$で書き換えます。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2x-\pi} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(\frac{t}{2})}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ を利用するため、次のように式変形します。

$\lim_{t \to 0} \frac{-\sin(\frac{t}{2})}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(\frac{t}{2})}{2 \cdot \frac{t}{2}} = -\frac{1}{2} \lim_{t \to 0} \frac{\sin(\frac{t}{2})}{\frac{t}{2}}$

$\frac{t}{2} = u$ とおくと、$t \to 0$ のとき $u \to 0$ なので、

$-\frac{1}{2} \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$