次の極限を計算します。 (1) $\lim_{x\to\infty} \frac{5x^2 - 8x + 4}{2x^2 + 3x + 7}$ (2) $\lim_{x\to 4} \frac{x^2 - 5x + 4}{x + \sqrt{x} - 6}$ (3) $\lim_{x\to 3} \frac{2^x - 8}{x^2 - 9}$ (4) $\lim_{x\to 0} (5 - 4\cos x)^{\frac{3}{x^2}}$ (5) $\lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{\log x}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

(1) $\lim_{x\to\infty} \frac{5x^2 - 8x + 4}{2x^2 + 3x + 7}$

(2) $\lim_{x\to 4} \frac{x^2 - 5x + 4}{x + \sqrt{x} - 6}$

(3) $\lim_{x\to 3} \frac{2^x - 8}{x^2 - 9}$

(4) $\lim_{x\to 0} (5 - 4\cos x)^{\frac{3}{x^2}}$

(5) $\lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{\log x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to\infty} \frac{5x^2 - 8x + 4}{2x^2 + 3x + 7}$

分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x\to\infty} \frac{5 - \frac{8}{x} + \frac{4}{x^2}}{2 + \frac{3}{x} + \frac{7}{x^2}}$

$x\to\infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ となるので、

$\frac{5 - 0 + 0}{2 + 0 + 0} = \frac{5}{2}$

(2) $\lim_{x\to 4} \frac{x^2 - 5x + 4}{x + \sqrt{x} - 6}$

分子は $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$ と因数分解できます。

分母は $x + \sqrt{x} - 6 = (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)$ となります。

$\sqrt{x} - 2$ を含む項を作るため、分子分母に $(\sqrt{x} + 2)$ を掛けます。

$\frac{(x^2 - 5x + 4)(\sqrt{x} + 2)}{(x + \sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{(x-1)(x-4)(\sqrt{x} + 2)}{(x-4)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{(x-1)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 3)}$

$x \to 4$ のとき、$\frac{(4-1)(\sqrt{4} + 2)}{(\sqrt{4} + 3)} = \frac{3(2+2)}{2+3} = \frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5}$

(3) $\lim_{x\to 3} \frac{2^x - 8}{x^2 - 9}$

$2^x - 8 = 2^x - 2^3$ であり、$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ です。

$\lim_{x\to 3} \frac{2^x - 2^3}{x-3} \times \frac{1}{x+3}$ と変形できます。

$\lim_{x\to 3} \frac{2^x - 2^3}{x-3}$ は $f(x) = 2^x$ の $x=3$ における微分係数なので、$(\log 2) 2^3 = 8 \log 2$ となります。

$\lim_{x\to 3} \frac{1}{x+3} = \frac{1}{6}$

したがって、求める極限は $8 \log 2 \times \frac{1}{6} = \frac{4}{3} \log 2$ となります。

(4) $\lim_{x\to 0} (5 - 4\cos x)^{\frac{3}{x^2}}$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ なので、

$5 - 4\cos x = 5 - 4(1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4)) = 1 + 2x^2 + O(x^4)$

したがって、

$\lim_{x\to 0} (1 + 2x^2)^{\frac{3}{x^2}} = \lim_{x\to 0} (1 + 2x^2)^{\frac{1}{2x^2} \times 6} = e^6$

(5) $\lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{\log x}$

$-1 \le \sin x \le 1$ であり、$\lim_{x\to \infty} \log x = \infty$ なので、$\lim_{x\to\infty} \frac{\sin x}{\log x} = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2}$

(2) $\frac{12}{5}$

(3) $\frac{4}{3} \log 2$

(4) $e^6$

(5) $0$