領域 $D = \{(x, y) \mid 0 \le x - y \le 1, 0 \le x + y \le 1\}$ 上で、関数 $x^2$ の重積分 $\iint_D x^2 dxdy$ を求めます。

はい、承知いたしました。問題の指示に従い、変数変換を用いた重積分の問題を解いていきます。今回は、(1)の問題を解きます。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) \mid 0 \le x - y \le 1, 0 \le x + y \le 1\}$ 上で、関数 $x^2$ の重積分 $\iint_D x^2 dxdy$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、変数変換を行います。

$u = x - y$

$v = x + y$

このとき、領域Dは

$0 \le u \le 1$

$0 \le v \le 1$

となります。

次に、逆変換を求めます。

$x = \frac{u + v}{2}$

$y = \frac{v - u}{2}$

ヤコビアンを計算します。

$J = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{4} - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$

絶対値を取ると、$|J| = \frac{1}{2}$

積分を計算します。

$\iint_D x^2 dxdy = \int_0^1 \int_0^1 (\frac{u + v}{2})^2 |J| dudv = \int_0^1 \int_0^1 (\frac{u + v}{2})^2 \frac{1}{2} dudv$

$= \frac{1}{8} \int_0^1 \int_0^1 (u^2 + 2uv + v^2) dudv = \frac{1}{8} \int_0^1 [\frac{u^3}{3} + u^2v + uv^2]_0^1 dv$

$= \frac{1}{8} \int_0^1 (\frac{1}{3} + v + v^2) dv = \frac{1}{8} [\frac{1}{3}v + \frac{v^2}{2} + \frac{v^3}{3}]_0^1$

$= \frac{1}{8} (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{1}{8} (\frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6}) = \frac{1}{8} \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{48}$

3. 最終的な答え

$\iint_D x^2 dxdy = \frac{7}{48}$