与えられた問題は以下の通りです。 (1) 関数 $y = \sin(\cos x)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $x$ で表す。 (2) 関数 $y = (x+1)\sqrt{2x+3}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $x$ で表す。 (3) 関数 $f(x) = xe^{-2x}$ に対し、$f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。 (4) 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ を求める。 (5) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n + 9^{n+1}}{3^{2n}}$ を求める。 (6) 方程式 $z^4 = 32(-1 + \sqrt{3}i)$ を解く。 (7) $a$ を実数の定数とする。複素数 $z$ が $z\overline{z} - a\overline{z} + a i z = 1$ を満たしながら動くとき、複素数平面上で $z$ の表す点は、どのような図形を描くか。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の通りです。

(1) 関数 $y = \sin(\cos x)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $x$ で表す。

(2) 関数 $y = (x+1)\sqrt{2x+3}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を $x$ で表す。

(3) 関数 $f(x) = xe^{-2x}$ に対し、$f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。

(4) 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ を求める。

(5) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n + 9^{n+1}}{3^{2n}}$ を求める。

(6) 方程式 $z^4 = 32(-1 + \sqrt{3}i)$ を解く。

(7) $a$ を実数の定数とする。複素数 $z$ が $z\overline{z} - a\overline{z} + a i z = 1$ を満たしながら動くとき、複素数平面上で $z$ の表す点は、どのような図形を描くか。

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \sin(\cos x) = \cos(\cos x) \cdot \frac{d}{dx} (\cos x) = \cos(\cos x) \cdot (-\sin x) = -\sin x \cos(\cos x)$

(2) 積の微分と合成関数の微分を用いる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [(x+1)\sqrt{2x+3}] = (x+1) \cdot \frac{d}{dx} \sqrt{2x+3} + \sqrt{2x+3} \cdot \frac{d}{dx} (x+1)$

$= (x+1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x+3}} \cdot 2 + \sqrt{2x+3} \cdot 1 = \frac{x+1}{\sqrt{2x+3}} + \sqrt{2x+3}$

$= \frac{x+1 + 2x+3}{\sqrt{2x+3}} = \frac{3x+4}{\sqrt{2x+3}}$

(3) 積の微分を用いる。

$f'(x) = \frac{d}{dx} (xe^{-2x}) = x \cdot \frac{d}{dx} e^{-2x} + e^{-2x} \cdot \frac{d}{dx} x = x \cdot (-2e^{-2x}) + e^{-2x} \cdot 1 = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = (1-2x)e^{-2x}$

$f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = \frac{d}{dx} [(1-2x)e^{-2x}] = (1-2x) \cdot \frac{d}{dx} e^{-2x} + e^{-2x} \cdot \frac{d}{dx} (1-2x)$

$= (1-2x) \cdot (-2e^{-2x}) + e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x} + 4xe^{-2x} - 2e^{-2x} = (4x-4)e^{-2x}$

(4) ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}$

あるいは、$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ を用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{4(\frac{x}{2})^2} = 2 \cdot \frac{1}{4} \lim_{x \to 0} (\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})^2 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$

(5)

$\lim_{n \to \infty} \frac{5^n + 9^{n+1}}{3^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5^n + 9 \cdot 9^n}{9^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{9^n} + 9 = \lim_{n \to \infty} (\frac{5}{9})^n + 9 = 0 + 9 = 9$

(6) 方程式 $z^4 = 32(-1 + \sqrt{3}i)$ を解く。

$32(-1 + \sqrt{3}i) = 32 \cdot 2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) = 64(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})$

$z^4 = 64(\cos (\frac{2\pi}{3} + 2k\pi) + i \sin (\frac{2\pi}{3} + 2k\pi))$

$z = \sqrt[4]{64}(\cos (\frac{\frac{2\pi}{3} + 2k\pi}{4}) + i \sin (\frac{\frac{2\pi}{3} + 2k\pi}{4})) = 2\sqrt{2}(\cos (\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}) + i \sin (\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}))$

$k = 0, 1, 2, 3$

$k = 0: z = 2\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = 2\sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}) = \sqrt{6} + i\sqrt{2}$

$k = 1: z = 2\sqrt{2}(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) = 2\sqrt{2}(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = -\sqrt{2} + i\sqrt{6}$

$k = 2: z = 2\sqrt{2}(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}) = 2\sqrt{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2}) = -\sqrt{6} - i\sqrt{2}$

$k = 3: z = 2\sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}) = 2\sqrt{2}(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{2} - i\sqrt{6}$

$z = \sqrt{6} + i\sqrt{2}, -\sqrt{2} + i\sqrt{6}, -\sqrt{6} - i\sqrt{2}, \sqrt{2} - i\sqrt{6}$

(7) $z\overline{z} - a\overline{z} + a i z = 1$ を満たす $z$ が表す図形を求める。

$z = x + iy$ とおくと、$\overline{z} = x - iy$

$(x+iy)(x-iy) - a(x-iy) + ai(x+iy) = 1$

$x^2 + y^2 - ax + aiy + a i x - a y = 1$

$x^2 + y^2 - ax - ay + i(ax - ay) = 1$

実部と虚部を比較する。

$x^2 + y^2 - ax - ay = 1$

$ax - ay = 0$

$x = y$

$x^2 + x^2 - ax - ax = 1$

$2x^2 - 2ax - 1 = 0$

$2x^2 - 2ax + \frac{a^2}{2} = 1 + \frac{a^2}{2}$

$2(x^2 - ax + \frac{a^2}{4}) = 1 + \frac{a^2}{2} = \frac{2 + a^2}{2}$

$2(x - \frac{a}{2})^2 = \frac{2+a^2}{2}$

$(x - \frac{a}{2})^2 = \frac{2+a^2}{4}$

$x - \frac{a}{2} = \pm \frac{\sqrt{2+a^2}}{2}$

$x = \frac{a \pm \sqrt{2+a^2}}{2}$

円の方程式に変形する。$z\overline{z} - a\overline{z} - ai\overline{z}=1$. ここで$z=x+yi$ とおくと，

$z\overline{z} - a\overline{z} + aiz=1$, $(x+yi)(x-yi) -a(x-yi) +ai(x+iy) = 1$. よって， $x^2+y^2-ax+ayi+aix-ay=1$. 実部と虚部は$x^2+y^2-ax-ay=1, -ax+ay=0$. より$x=y$.

$x^2+x^2-2ax=1$. よって， $2x^2-2ax=1$.

$z\overline{z} - a(\overline{z} - iz) = 1$

$z\overline{z} - a(\overline{z} + iz) =1$

$(z-ai)(\overline{z}+ai) = z \overline{z}+aiz-ai\overline{z}+a^2$

$|z-ai|^2=z \overline{z}+ai\overline{z}-ai{z}-a^2$. $|z-ai|^2=a^2 + 1$

半径 $\sqrt{a^2+1}$ の円。中心は $ai$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\sin x \cos(\cos x)$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x+4}{\sqrt{2x+3}}$

(3) $f'(x) = (1-2x)e^{-2x}$, $f''(x) = (4x-4)e^{-2x}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

(5) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n + 9^{n+1}}{3^{2n}} = 9$

(6) $z = \sqrt{6} + i\sqrt{2}, -\sqrt{2} + i\sqrt{6}, -\sqrt{6} - i\sqrt{2}, \sqrt{2} - i\sqrt{6}$

(7) 中心 $ai$, 半径 $\sqrt{a^2+1}$ の円