次の関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{1}{3x+2}$ (2) $y = \frac{3x}{x^2-1}$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $y = \frac{1}{3x+2}$

(2) $y = \frac{3x}{x^2-1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{3x+2}$ の微分

これは合成関数の微分として解くことができます。$u = 3x+2$ とおくと、$y = \frac{1}{u} = u^{-1}$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot 3 = -\frac{3}{(3x+2)^2}$

(2) $y = \frac{3x}{x^2-1}$ の微分

これは商の微分法を使って解くことができます。商の微分法は、

$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = 3x$、$v = x^2 - 1$ とおくと、$u' = 3$、$v' = 2x$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(x^2-1) - 3x(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{3x^2 - 3 - 6x^2}{(x^2-1)^2} = \frac{-3x^2 - 3}{(x^2-1)^2} = \frac{-3(x^2+1)}{(x^2-1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{(3x+2)^2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-3(x^2+1)}{(x^2-1)^2}$