問題文は、陰関数とはどのようなものか、曲面 $z = f(x, y)$を用いて説明せよ、というものです。

1. 問題の内容

問題文は、陰関数とはどのようなものか、曲面 $z = f(x, y)$を用いて説明せよ、というものです。

2. 解き方の手順

陰関数とは、変数間の関係が直接的に表されず、方程式の形で与えられた関数のことです。曲面 $z=f(x, y)$ を用いて説明します。

曲面 $z = f(x, y)$ を考えます。この曲面上の点は $(x, y, z)$ で表されます。

$F(x, y, z) = f(x, y) - z = 0$

という関数を定義します。この関数は、曲面上の点 $(x, y, z)$ が満たすべき条件を表しています。

このとき、$F(x, y, z) = 0$ を満たす $x, y, z$ の関係は、陰関数で表されていると言えます。つまり、$F(x, y, z) = 0$ の形で表現された関係が陰関数です。

例えば、

$F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - r^2 = 0$

は半径 $r$ の球の方程式を表しています。この式から、$z$ を $x$ と $y$ の関数として直接的に表現することは難しいですが、$z$ は $x$ と $y$ の陰関数として定義されていると言えます。

3. 最終的な答え

陰関数とは、$F(x, y, z) = 0$ のように、変数間の関係が方程式の形で与えられた関数のことです。曲面 $z = f(x, y)$ を用いると、$F(x, y, z) = f(x, y) - z = 0$ という関数を考えることができ、この関数が陰関数の例となります。