与えられた級数 $\sum_{k=1}^{n} \left(-\frac{1}{3}\right)^k$ の和を求めます。

1. 問題の内容

与えられた級数 $\sum_{k=1}^{n} \left(-\frac{1}{3}\right)^k$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

この級数は初項 $a = -\frac{1}{3}$、公比 $r = -\frac{1}{3}$ の等比数列の和です。

等比数列の和の公式は以下の通りです。

$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

この公式に $a = -\frac{1}{3}$ と $r = -\frac{1}{3}$ を代入します。

$S_n = \frac{-\frac{1}{3} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n \right)}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)}$

$S_n = \frac{-\frac{1}{3} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n \right)}{1 + \frac{1}{3}}$

$S_n = \frac{-\frac{1}{3} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n \right)}{\frac{4}{3}}$

$S_n = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n \right)$

$S_n = -\frac{1}{4} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n \right)$

$S_n = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{3}\right)^n$

$S_n = -\frac{1}{4} + \frac{(-1)^n}{4 \cdot 3^n}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} \left(-\frac{1}{3}\right)^k = -\frac{1}{4} + \frac{(-1)^n}{4 \cdot 3^n}$