与えられた関数 $z$ について、2階の偏導関数を求めます。ここでは、問題番号(3)の $z = \sin(ax+by)$ について解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $z$ について、2階の偏導関数を求めます。ここでは、問題番号(3)の $z = \sin(ax+by)$ について解きます。

2. 解き方の手順

まず、$x$に関する1階偏導関数を求めます。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \sin(ax+by) = a\cos(ax+by)$

次に、$x$に関する2階偏導関数を求めます。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (a\cos(ax+by)) = -a^2\sin(ax+by)$

次に、$y$に関する1階偏導関数を求めます。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \sin(ax+by) = b\cos(ax+by)$

次に、$y$に関する2階偏導関数を求めます。

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (b\cos(ax+by)) = -b^2\sin(ax+by)$

最後に、$x$で偏微分してから$y$で偏微分（またはその逆）を行います。

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (a\cos(ax+by)) = -ab\sin(ax+by)$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (b\cos(ax+by)) = -ab\sin(ax+by)$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -a^2\sin(ax+by)$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -b^2\sin(ax+by)$

$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -ab\sin(ax+by)$

$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = -ab\sin(ax+by)$