定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin \theta$ と置いて置換積分を行います。

$dx = \cos \theta \, d\theta$ となります。

積分の範囲も変わります。

$x=0$ のとき、$\sin \theta = 0$ より、$\theta = 0$ です。

$x=1$ のとき、$\sin \theta = 1$ より、$\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cdot \cos \theta \, d\theta$

$\sqrt{1-\sin^2 \theta} = \sqrt{\cos^2 \theta} = |\cos \theta| = \cos \theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ では $\cos \theta \ge 0$ なので)

したがって、

$\int_{0}^{\pi/2} \cos \theta \cdot \cos \theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 \theta \, d\theta$

ここで、$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ の公式を使います。

$\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 \theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta$

$= \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{0}^{\pi/2}$

$= \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \pi \right) - \left(0 + \frac{1}{2} \sin 0 \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 \right]$

$= \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$