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与えられた関数 $z$ の2階の偏導関数を求める問題です。具体的には、以下の9つの関数に対して、$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ を求めます。 (1) $ax^2 - bxy + cy^2$ (2) $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ (3) $\sin(ax + by)$ (4) $\frac{1}{x - y}$ (5) $e^{2x} \sin(3y)$ (6) $e^{xy}$ (7) $e^{2x^2 + 3xy + y^2}$ (8) $\log_x y$ (9) $x^y$

解析学偏微分偏導関数多変数関数
2025/7/14

1. 問題の内容

与えられた関数 zz の2階の偏導関数を求める問題です。具体的には、以下の9つの関数に対して、∂2z∂x2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, ∂2z∂y2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}, ∂2z∂x∂y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, ∂2z∂y∂x\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} を求めます。
(1) ax2−bxy+cy2ax^2 - bxy + cy^2
(2) 1x−1y\frac{1}{x} - \frac{1}{y}
(3) sin⁡(ax+by)\sin(ax + by)
(4) 1x−y\frac{1}{x - y}
(5) e2xsin⁡(3y)e^{2x} \sin(3y)
(6) exye^{xy}
(7) e2x2+3xy+y2e^{2x^2 + 3xy + y^2}
(8) log⁡xy\log_x y
(9) xyx^y

2. 解き方の手順

各関数について、まず xx で偏微分し、次にその結果を再び xx で偏微分して ∂2z∂x2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} を求めます。同様に、yy で偏微分し、次にその結果を再び yy で偏微分して ∂2z∂y2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} を求めます。また、最初に xx で偏微分し、次にその結果を yy で偏微分して ∂2z∂y∂x\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} を求めます。最後に、最初に yy で偏微分し、次にその結果を xx で偏微分して ∂2z∂x∂y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} を求めます。
(1) z=ax2−bxy+cy2z = ax^2 - bxy + cy^2
∂z∂x=2ax−by\frac{\partial z}{\partial x} = 2ax - by
∂2z∂x2=2a\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2a
∂z∂y=−bx+2cy\frac{\partial z}{\partial y} = -bx + 2cy
∂2z∂y2=2c\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2c
∂2z∂y∂x=−b\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = -b
∂2z∂x∂y=−b\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -b
(2) z=1x−1y=x−1−y−1z = \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = x^{-1} - y^{-1}
∂z∂x=−x−2=−1x2\frac{\partial z}{\partial x} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}
∂2z∂x2=2x−3=2x3\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}
∂z∂y=y−2=1y2\frac{\partial z}{\partial y} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}
∂2z∂y2=−2y−3=−2y3\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -2y^{-3} = -\frac{2}{y^3}
∂2z∂y∂x=0\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 0
∂2z∂x∂y=0\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0
(3) z=sin⁡(ax+by)z = \sin(ax + by)
∂z∂x=acos⁡(ax+by)\frac{\partial z}{\partial x} = a\cos(ax + by)
∂2z∂x2=−a2sin⁡(ax+by)\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -a^2\sin(ax + by)
∂z∂y=bcos⁡(ax+by)\frac{\partial z}{\partial y} = b\cos(ax + by)
∂2z∂y2=−b2sin⁡(ax+by)\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -b^2\sin(ax + by)
∂2z∂y∂x=−absin⁡(ax+by)\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = -ab\sin(ax + by)
∂2z∂x∂y=−absin⁡(ax+by)\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -ab\sin(ax + by)
(4) z=1x−y=(x−y)−1z = \frac{1}{x - y} = (x - y)^{-1}
∂z∂x=−(x−y)−2=−1(x−y)2\frac{\partial z}{\partial x} = -(x - y)^{-2} = -\frac{1}{(x - y)^2}
∂2z∂x2=2(x−y)−3=2(x−y)3\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2(x - y)^{-3} = \frac{2}{(x - y)^3}
∂z∂y=(x−y)−2=1(x−y)2\frac{\partial z}{\partial y} = (x - y)^{-2} = \frac{1}{(x - y)^2}
∂2z∂y2=−2(x−y)−3=−2(x−y)3\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -2(x - y)^{-3} = -\frac{2}{(x - y)^3}
∂2z∂y∂x=2(x−y)−3=2(x−y)3\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 2(x - y)^{-3} = \frac{2}{(x - y)^3}
∂2z∂x∂y=2(x−y)−3=2(x−y)3\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 2(x - y)^{-3} = \frac{2}{(x - y)^3}
(5) z=e2xsin⁡(3y)z = e^{2x} \sin(3y)
∂z∂x=2e2xsin⁡(3y)\frac{\partial z}{\partial x} = 2e^{2x} \sin(3y)
∂2z∂x2=4e2xsin⁡(3y)\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 4e^{2x} \sin(3y)
∂z∂y=3e2xcos⁡(3y)\frac{\partial z}{\partial y} = 3e^{2x} \cos(3y)
∂2z∂y2=−9e2xsin⁡(3y)\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -9e^{2x} \sin(3y)
∂2z∂y∂x=6e2xcos⁡(3y)\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 6e^{2x} \cos(3y)
∂2z∂x∂y=6e2xcos⁡(3y)\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 6e^{2x} \cos(3y)
(6) z=exyz = e^{xy}
∂z∂x=yexy\frac{\partial z}{\partial x} = ye^{xy}
∂2z∂x2=y2exy\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y^2e^{xy}
∂z∂y=xexy\frac{\partial z}{\partial y} = xe^{xy}
∂2z∂y2=x2exy\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x^2e^{xy}
∂2z∂y∂x=exy+xyexy\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = e^{xy} + xye^{xy}
∂2z∂x∂y=exy+xyexy\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = e^{xy} + xye^{xy}
(7) z=e2x2+3xy+y2z = e^{2x^2 + 3xy + y^2}
∂z∂x=(4x+3y)e2x2+3xy+y2\frac{\partial z}{\partial x} = (4x + 3y)e^{2x^2 + 3xy + y^2}
∂2z∂x2=(4x+3y)2e2x2+3xy+y2+4e2x2+3xy+y2=[(4x+3y)2+4]e2x2+3xy+y2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = (4x + 3y)^2e^{2x^2 + 3xy + y^2} + 4e^{2x^2 + 3xy + y^2} = [(4x+3y)^2+4]e^{2x^2 + 3xy + y^2}
∂z∂y=(3x+2y)e2x2+3xy+y2\frac{\partial z}{\partial y} = (3x + 2y)e^{2x^2 + 3xy + y^2}
∂2z∂y2=(3x+2y)2e2x2+3xy+y2+2e2x2+3xy+y2=[(3x+2y)2+2]e2x2+3xy+y2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = (3x + 2y)^2e^{2x^2 + 3xy + y^2} + 2e^{2x^2 + 3xy + y^2} = [(3x+2y)^2+2]e^{2x^2 + 3xy + y^2}
∂2z∂y∂x=(4x+3y)(3x+2y)e2x2+3xy+y2+3e2x2+3xy+y2=[(4x+3y)(3x+2y)+3]e2x2+3xy+y2\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = (4x + 3y)(3x + 2y)e^{2x^2 + 3xy + y^2} + 3e^{2x^2 + 3xy + y^2} = [(4x+3y)(3x+2y)+3]e^{2x^2 + 3xy + y^2}
∂2z∂x∂y=(3x+2y)(4x+3y)e2x2+3xy+y2+3e2x2+3xy+y2=[(3x+2y)(4x+3y)+3]e2x2+3xy+y2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = (3x + 2y)(4x + 3y)e^{2x^2 + 3xy + y^2} + 3e^{2x^2 + 3xy + y^2} = [(3x+2y)(4x+3y)+3]e^{2x^2 + 3xy + y^2}
(8) z=log⁡xy=ln⁡yln⁡xz = \log_x y = \frac{\ln y}{\ln x}
∂z∂x=−ln⁡y(ln⁡x)2⋅1x=−ln⁡yx(ln⁡x)2\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\ln y}{(\ln x)^2} \cdot \frac{1}{x} = -\frac{\ln y}{x(\ln x)^2}
∂2z∂x2=−ln⁡y⋅ddx[x(ln⁡x)2]−1=−ln⁡y⋅ddx1x(ln⁡x)2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\ln y \cdot \frac{d}{dx}[x(\ln x)^2]^{-1} = -\ln y \cdot \frac{d}{dx} \frac{1}{x(\ln x)^2}
ddx[x(ln⁡x)2]=(ln⁡x)2+x⋅2ln⁡x⋅1x=(ln⁡x)2+2ln⁡x\frac{d}{dx}[x(\ln x)^2] = (\ln x)^2 + x \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x} = (\ln x)^2 + 2\ln x
∂2z∂x2=ln⁡y[x(ln⁡x)2]2[(ln⁡x)2+2ln⁡x]=ln⁡yx2(ln⁡x)4[(ln⁡x)2+2ln⁡x]=ln⁡yx2(ln⁡x)2[1+2ln⁡x]\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\ln y}{[x(\ln x)^2]^2}[(\ln x)^2 + 2\ln x] = \frac{\ln y}{x^2(\ln x)^4}[(\ln x)^2 + 2\ln x] = \frac{\ln y}{x^2(\ln x)^2} [1 + \frac{2}{\ln x}]
∂z∂y=1yln⁡x\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{y\ln x}
∂2z∂y2=−1y2ln⁡x\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -\frac{1}{y^2 \ln x}
∂2z∂y∂x=−1y(ln⁡x)2⋅1x=−1xy(ln⁡x)2\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = -\frac{1}{y(\ln x)^2}\cdot \frac{1}{x} = -\frac{1}{xy(\ln x)^2}
∂2z∂x∂y=−1y(ln⁡x)2⋅1x=−1xy(ln⁡x)2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{1}{y(\ln x)^2}\cdot \frac{1}{x} = -\frac{1}{xy(\ln x)^2}
(9) z=xyz = x^y
∂z∂x=yxy−1\frac{\partial z}{\partial x} = yx^{y-1}
∂2z∂x2=y(y−1)xy−2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y(y-1)x^{y-2}
∂z∂y=xyln⁡x\frac{\partial z}{\partial y} = x^y \ln x
∂2z∂y2=xy(ln⁡x)2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x^y (\ln x)^2
∂2z∂y∂x=xy−1+yxy−1ln⁡x\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = x^{y-1} + yx^{y-1}\ln x
∂2z∂x∂y=xy−1+xyln⁡x⋅ln⁡x=xy−1+xy−1yln⁡x\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = x^{y-1} + x^y\ln x \cdot \ln x=x^{y-1} + x^{y-1} y\ln x

3. 最終的な答え

(1) ∂2z∂x2=2a\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2a, ∂2z∂y2=2c\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2c, ∂2z∂y∂x=−b\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = -b, ∂2z∂x∂y=−b\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -b
(2) ∂2z∂x2=2x3\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{2}{x^3}, ∂2z∂y2=−2y3\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -\frac{2}{y^3}, ∂2z∂y∂x=0\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 0, ∂2z∂x∂y=0\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0
(3) ∂2z∂x2=−a2sin⁡(ax+by)\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -a^2\sin(ax + by), ∂2z∂y2=−b2sin⁡(ax+by)\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -b^2\sin(ax + by), ∂2z∂y∂x=−absin⁡(ax+by)\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = -ab\sin(ax + by), ∂2z∂x∂y=−absin⁡(ax+by)\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -ab\sin(ax + by)
(4) ∂2z∂x2=2(x−y)3\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{2}{(x - y)^3}, ∂2z∂y2=−2(x−y)3\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -\frac{2}{(x - y)^3}, ∂2z∂y∂x=2(x−y)3\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{2}{(x - y)^3}, ∂2z∂x∂y=2(x−y)3\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{2}{(x - y)^3}
(5) ∂2z∂x2=4e2xsin⁡(3y)\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 4e^{2x} \sin(3y), ∂2z∂y2=−9e2xsin⁡(3y)\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -9e^{2x} \sin(3y), ∂2z∂y∂x=6e2xcos⁡(3y)\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = 6e^{2x} \cos(3y), ∂2z∂x∂y=6e2xcos⁡(3y)\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 6e^{2x} \cos(3y)
(6) ∂2z∂x2=y2exy\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y^2e^{xy}, ∂2z∂y2=x2exy\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x^2e^{xy}, ∂2z∂y∂x=exy+xyexy\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = e^{xy} + xye^{xy}, ∂2z∂x∂y=exy+xyexy\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = e^{xy} + xye^{xy}
(7) ∂2z∂x2=[(4x+3y)2+4]e2x2+3xy+y2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = [(4x+3y)^2+4]e^{2x^2 + 3xy + y^2}, ∂2z∂y2=[(3x+2y)2+2]e2x2+3xy+y2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = [(3x+2y)^2+2]e^{2x^2 + 3xy + y^2}, ∂2z∂y∂x=[(4x+3y)(3x+2y)+3]e2x2+3xy+y2\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = [(4x+3y)(3x+2y)+3]e^{2x^2 + 3xy + y^2}, ∂2z∂x∂y=[(3x+2y)(4x+3y)+3]e2x2+3xy+y2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = [(3x+2y)(4x+3y)+3]e^{2x^2 + 3xy + y^2}
(8) ∂2z∂x2=ln⁡yx2(ln⁡x)2[1+2ln⁡x]\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\ln y}{x^2(\ln x)^2} [1 + \frac{2}{\ln x}], ∂2z∂y2=−1y2ln⁡x\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -\frac{1}{y^2 \ln x}, ∂2z∂y∂x=−1xy(ln⁡x)2\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = -\frac{1}{xy(\ln x)^2}, ∂2z∂x∂y=−1xy(ln⁡x)2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{1}{xy(\ln x)^2}
(9) ∂2z∂x2=y(y−1)xy−2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = y(y-1)x^{y-2}, ∂2z∂y2=xy(ln⁡x)2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = x^y (\ln x)^2, ∂2z∂y∂x=xy−1+yxy−1ln⁡x\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = x^{y-1} + yx^{y-1}\ln x, ∂2z∂x∂y=xy−1+xy−1yln⁡x\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = x^{y-1} + x^{y-1} y\ln x

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