関数 $y = \sin^2x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x$ （$0 \leq x \leq \pi$）において、$t = \sin x + \cos x$ とおくとき、次の問いに答えよ。 (1) $t$ のとり得る値の範囲を求めよ。 (2) $y$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^2x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x$ （$0 \leq x \leq \pi$）において、$t = \sin x + \cos x$ とおくとき、次の問いに答えよ。

(1) $t$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $y$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin x + \cos x$ を変形して、$t$のとり得る値の範囲を求める。

三角関数の合成を用いる。

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{\pi}{4})$

$0 \leq x \leq \pi$ であるから、$\frac{\pi}{4} \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{4}$

したがって、$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \sin (x + \frac{\pi}{4}) \leq 1$

よって、$-\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \leq \sqrt{2} \sin (x + \frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2} \cdot 1$

$-1 \leq t \leq \sqrt{2}$

(2) $y$ を $t$ の式で表し、$y$ の最小値を求める。

$t = \sin x + \cos x$ より、$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x$

$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$

$y = \sin^2 x \cos x + \sin x \cos^2 x + \sin x \cos x = \sin x \cos x (\sin x + \cos x) + \sin x \cos x$

$y = \sin x \cos x (\sin x + \cos x + 1) = \frac{t^2 - 1}{2} (t + 1) = \frac{1}{2} (t^2 - 1)(t + 1)$

$y = \frac{1}{2} (t - 1)(t + 1)(t + 1) = \frac{1}{2} (t - 1)(t + 1)^2 = \frac{1}{2} (t - 1)(t^2 + 2t + 1) = \frac{1}{2} (t^3 + 2t^2 + t - t^2 - 2t - 1)$

$y = \frac{1}{2} (t^3 + t^2 - t - 1)$

$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} (3t^2 + 2t - 1) = \frac{1}{2} (3t - 1)(t + 1)$

$\frac{dy}{dt} = 0$ となるのは、$t = \frac{1}{3}, -1$

$-1 \leq t \leq \sqrt{2}$ の範囲で、$y$ の増減を調べる。

$t = -1$ のとき、$y = \frac{1}{2} ((-1)^3 + (-1)^2 - (-1) - 1) = \frac{1}{2} (-1 + 1 + 1 - 1) = 0$

$t = \frac{1}{3}$ のとき、$y = \frac{1}{2} ((\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 1) = \frac{1}{2} (\frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 1) = \frac{1}{2} (\frac{1 + 3 - 9 - 27}{27}) = \frac{1}{2} (\frac{-32}{27}) = -\frac{16}{27}$

$t = \sqrt{2}$ のとき、$y = \frac{1}{2} ((\sqrt{2})^3 + (\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} - 1) = \frac{1}{2} (2\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} - 1) = \frac{1}{2} (\sqrt{2} + 1)$

$y$ の最小値は $-\frac{16}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $-1 \leq t \leq \sqrt{2}$

(2) $-\frac{16}{27}$