$3\sin x + \cos x = 3$ が成り立つとき、$\sin 2x$ の値を求めよ。ただし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ とする。

1. 問題の内容

$3\sin x + \cos x = 3$ が成り立つとき、$\sin 2x$ の値を求めよ。ただし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

与えられた式 $3\sin x + \cos x = 3$ を変形して、$\sin x$ と $\cos x$ の値を求め、$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ に代入する。

まず、与えられた式を二乗する。

$(3\sin x + \cos x)^2 = 3^2$

$9\sin^2 x + 6\sin x \cos x + \cos^2 x = 9$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いて、

$8\sin^2 x + 6\sin x \cos x + 1 = 9$

$8\sin^2 x + 6\sin x \cos x = 8$

$4\sin^2 x + 3\sin x \cos x = 4$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ より、$\sin x > 0$ かつ $\cos x > 0$ である。

また、$3\sin x = 3 - \cos x$ であり、$\cos x = 3 - 3\sin x$ である。

これを $4\sin^2 x + 3\sin x (3 - 3\sin x) = 4$ に代入する。

$4\sin^2 x + 9\sin x - 9\sin^2 x = 4$

$-5\sin^2 x + 9\sin x - 4 = 0$

$5\sin^2 x - 9\sin x + 4 = 0$

$(5\sin x - 4)(\sin x - 1) = 0$

したがって、$\sin x = 1$ または $\sin x = \frac{4}{5}$ である。

(i) $\sin x = 1$ のとき、$x = \frac{\pi}{2}$ であるが、$3\sin x + \cos x = 3$ より、$\cos x = 0$ であり、これは式を満たす。しかし、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ より、$x = \frac{\pi}{2}$ は条件を満たさないため、不適。

(ii) $\sin x = \frac{4}{5}$ のとき、$3\sin x + \cos x = 3$ より、

$3(\frac{4}{5}) + \cos x = 3$

$\cos x = 3 - \frac{12}{5} = \frac{15 - 12}{5} = \frac{3}{5}$

よって、$\sin x = \frac{4}{5}$ かつ $\cos x = \frac{3}{5}$ である。

$\sin 2x = 2\sin x \cos x = 2(\frac{4}{5})(\frac{3}{5}) = \frac{24}{25}$

3. 最終的な答え

$\sin 2x = \frac{24}{25}$