周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ $(-\pi \le x < \pi)$, $f(x + 2\pi) = f(x)$ のフーリエ級数を求める。

1. 問題の内容

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ $(-\pi \le x < \pi)$, $f(x + 2\pi) = f(x)$ のフーリエ級数を求める。

2. 解き方の手順

フーリエ級数は次のように表される。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数であり、以下のように計算される。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

まず、$a_0$ を計算する。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\sin x| dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x dx = \frac{2}{\pi} [-\cos x]_{0}^{\pi} = \frac{2}{\pi} (-\cos \pi + \cos 0) = \frac{2}{\pi} (1 + 1) = \frac{4}{\pi}$

次に、$a_n$ を計算する。

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\sin x| \cos(nx) dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \cos(nx) dx$

ここで、積和の公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ を用いる。

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} [\sin(x+nx) + \sin(x-nx)] dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} [\sin((n+1)x) - \sin((n-1)x)] dx$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \sin x \cos x dx = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \sin 2x dx = \frac{1}{\pi} [-\frac{1}{2} \cos 2x]_0^{\pi} = \frac{1}{2\pi} (-\cos 2\pi + \cos 0) = 0$

$n \neq 1$ のとき、

$a_n = \frac{1}{\pi} [-\frac{\cos((n+1)x)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)x)}{n-1}]_0^{\pi} = \frac{1}{\pi} [-\frac{\cos((n+1)\pi)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)\pi)}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}]$

$a_n = \frac{1}{\pi} [-\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} + \frac{(-1)^{n-1}}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}] = \frac{1}{\pi} [\frac{(-1)^n}{n+1} + \frac{(-1)^n}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}]$

$a_n = \frac{1}{\pi} [(-1)^n (\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n-1}) + (\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1})] = \frac{1}{\pi} [(-1)^n (\frac{2n}{n^2-1}) - (\frac{2}{n^2-1})]$

$a_n = \frac{2}{\pi(n^2-1)} [n(-1)^n - 1]$

$n$ が偶数のとき、$a_n = \frac{2}{\pi(n^2-1)}(n-1)$

$n$ が奇数のとき、$a_n = \frac{2}{\pi(n^2-1)}(-n-1)$

$b_n$ を計算する。

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\sin x| \sin(nx) dx$

$|\sin x|$ は偶関数、$\sin(nx)$ は $n$ が偶数のとき奇関数、$n$が奇数のとき偶関数である。

したがって、$n$が偶数のとき被積分関数は奇関数になるので積分値は $0$ となる。

$n$が奇数のとき被積分関数は偶関数になる。

$b_n = 0$ (for all $n$)

よって、$f(x) = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx = \frac{2}{\pi} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2[n(-1)^n -1]}{\pi(n^2-1)} \cos nx$

$\sum_{k=1}^{\infty}$ を使い、$n=2k$ とすると、

$f(x) = \frac{2}{\pi} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(2k-1)}{\pi(4k^2-1)} \cos(2kx) = \frac{2}{\pi} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(2k-1)}{\pi(2k-1)(2k+1)} \cos(2kx)$

$= \frac{2}{\pi} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{\pi(2k+1)} \cos(2kx) = \frac{2}{\pi} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{4}{\pi(4k^2-1)} \cos(2kx)$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2nx)}{4n^2-1}$