関数 $y = 4\sin\theta - \cos2\theta + 3$ の最大値と最小値を、定義域 $0 \le \theta < 2\pi$ において求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 4\sin\theta - \cos2\theta + 3$ の最大値と最小値を、定義域 $0 \le \theta < 2\pi$ において求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos2\theta$ を $\sin\theta$ で表す。$\cos2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ であるから、与えられた関数は次のようになる。

$y = 4\sin\theta - (1 - 2\sin^2\theta) + 3$

$y = 2\sin^2\theta + 4\sin\theta + 2$

次に、$\sin\theta = t$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ であり、関数は次のようになる。

$y = 2t^2 + 4t + 2$

これを平方完成すると、次のようになる。

$y = 2(t^2 + 2t) + 2 = 2(t^2 + 2t + 1 - 1) + 2 = 2(t+1)^2 - 2 + 2 = 2(t+1)^2$

$-1 \le t \le 1$ において、この関数の最大値と最小値を考える。

$t = -1$ のとき、$y = 2(-1+1)^2 = 0$ (最小値)

$t = 1$ のとき、$y = 2(1+1)^2 = 2(2^2) = 8$ (最大値)

したがって、

$\sin\theta = -1$ のとき、$y = 0$ (最小値)

$\sin\theta = 1$ のとき、$y = 8$ (最大値)

$\sin\theta = -1$ を満たす $\theta$ は、 $0 \le \theta < 2\pi$ において $\theta = \frac{3}{2}\pi$

$\sin\theta = 1$ を満たす $\theta$ は、 $0 \le \theta < 2\pi$ において $\theta = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

最大値: $8$ ($\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき)

最小値: $0$ ($\theta = \frac{3\pi}{2}$ のとき)