問題1：周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ （$-\pi \le x < \pi$）,$f(x+2\pi)=f(x)$ のフーリエ級数を求めよ。 問題2：$\epsilon > 0$ とする。関数 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2\epsilon} & (|x| \le \epsilon) \\ 0 & (|x| > \epsilon) \end{cases}$ のフーリエ変換 $F(u)$ を求めよ。さらに、$\lim_{\epsilon \to 0} F(u)$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題1：周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ （$-\pi \le x < \pi$）,$f(x+2\pi)=f(x)$ のフーリエ級数を求めよ。

問題2：$\epsilon > 0$ とする。関数

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2\epsilon} & (|x| \le \epsilon) \\ 0 & (|x| > \epsilon) \end{cases}$

のフーリエ変換 $F(u)$ を求めよ。さらに、$\lim_{\epsilon \to 0} F(u)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1：

関数 $f(x) = |\sin x|$ は偶関数であるため、フーリエ級数はフーリエコサイン級数になる。フーリエコサイン級数は次のように表される。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)$

ここで、$a_0$ と $a_n$ は次のように計算される。

$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) dx = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin x dx = \frac{2}{\pi} [-\cos x]_0^\pi = \frac{2}{\pi} (-\cos \pi + \cos 0) = \frac{2}{\pi}(1+1) = \frac{4}{\pi}$

$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx) dx = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin x \cos(nx) dx$

三角関数の積和公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ を用いると、

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi [\sin((n+1)x) - \sin((n-1)x)] dx$

$= \frac{1}{\pi} \left[-\frac{\cos((n+1)x)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)x)}{n-1}\right]_0^\pi$ (ただし、$n \ne 1$)

$= \frac{1}{\pi} \left[-\frac{\cos((n+1)\pi)}{n+1} + \frac{\cos((n-1)\pi)}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}\right]$

$n$が偶数のとき、$\cos((n+1)\pi) = \cos((n-1)\pi) = -1$なので、

$a_n = \frac{1}{\pi} \left[\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}\right] = \frac{2}{\pi} \left[\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n-1}\right] = \frac{2}{\pi} \left[\frac{n-1 - (n+1)}{(n+1)(n-1)}\right] = \frac{2}{\pi} \frac{-2}{n^2-1} = -\frac{4}{\pi(n^2-1)}$

$n$が奇数のとき、$a_n = 0$

$n=1$のとき、

$a_1 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin x \cos x dx = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin(2x) dx = \frac{1}{\pi} \left[-\frac{\cos(2x)}{2}\right]_0^\pi = \frac{1}{2\pi} [-\cos(2\pi) + \cos 0] = \frac{1}{2\pi} [-1+1] = 0$

よって、

$f(x) = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=2,4,6,...}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n^2-1} = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2kx)}{(2k)^2-1} = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2kx)}{4k^2-1}$

問題2：

フーリエ変換の定義に従い、$F(u)$を求める。

$F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-iux} dx$

$= \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \frac{1}{2\epsilon} e^{-iux} dx$

$= \frac{1}{2\epsilon} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} (\cos(ux) - i \sin(ux)) dx$

$f(x)$ が偶関数であるため、$F(u)$ も偶関数となる。つまり、$\sin(ux)$の積分は0になるので、

$F(u) = \frac{1}{2\epsilon} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \cos(ux) dx = \frac{1}{\epsilon} \int_0^{\epsilon} \cos(ux) dx$

$= \frac{1}{\epsilon} \left[\frac{\sin(ux)}{u}\right]_0^{\epsilon} = \frac{1}{\epsilon} \frac{\sin(u\epsilon)}{u} = \frac{\sin(u\epsilon)}{u\epsilon}$

次に、$\lim_{\epsilon \to 0} F(u)$ を求める。

$\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\sin(u\epsilon)}{u\epsilon}$

ここで、$u\epsilon = x$ とすると、$\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

3. 最終的な答え

問題1：

$f(x) = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2kx)}{4k^2-1}$

問題2：

$F(u) = \frac{\sin(u\epsilon)}{u\epsilon}$

$\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = 1$