微分方程式 $\frac{dA}{dt} = R - kA$ を、初期条件 $t=0$ のとき $A=0$ のもとで解く問題です。

1. 問題の内容

微分方程式 $\frac{dA}{dt} = R - kA$ を、初期条件 $t=0$ のとき $A=0$ のもとで解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、微分方程式を変形します。

$\frac{dA}{dt} = R - kA$

$\frac{dA}{R-kA} = dt$

両辺を積分します。

$\int \frac{dA}{R-kA} = \int dt$

左辺の積分を計算します。置換積分を行います。

$u = R - kA$ とすると、$\frac{du}{dA} = -k$ より $dA = -\frac{1}{k}du$

$\int \frac{dA}{R-kA} = \int \frac{-\frac{1}{k}du}{u} = -\frac{1}{k}\int \frac{du}{u} = -\frac{1}{k} \ln |u| + C_1 = -\frac{1}{k} \ln |R-kA| + C_1$

右辺の積分は

$\int dt = t + C_2$

したがって、

$-\frac{1}{k} \ln |R-kA| = t + C$ (ここで $C = C_2 - C_1$)

初期条件 $t=0$ のとき $A=0$ を代入します。

$-\frac{1}{k} \ln |R-k(0)| = 0 + C$

$-\frac{1}{k} \ln |R| = C$

したがって、

$-\frac{1}{k} \ln |R-kA| = t - \frac{1}{k} \ln |R|$

$\ln |R-kA| = -kt + \ln |R|$

$\ln |R-kA| - \ln |R| = -kt$

$\ln |\frac{R-kA}{R}| = -kt$

$\frac{R-kA}{R} = e^{-kt}$

$R-kA = Re^{-kt}$

$kA = R - Re^{-kt}$

$kA = R(1-e^{-kt})$

$A = \frac{R}{k}(1-e^{-kt})$

3. 最終的な答え

$A = \frac{R}{k}(1-e^{-kt})$