$z = \log \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{2} \log (x^2 + y^2)$ であり、$x = e^u \cos v$、$y = e^u \sin v$ のとき、$\frac{\partial z}{\partial u}$ と $\frac{\partial z}{\partial v}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$z = \log \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{2} \log (x^2 + y^2)$ であり、$x = e^u \cos v$、$y = e^u \sin v$ のとき、$\frac{\partial z}{\partial u}$ と $\frac{\partial z}{\partial v}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$z$ を $x$ と $y$ で偏微分します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{x}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2y = \frac{y}{x^2 + y^2}$

次に、$x$ と $y$ を $u$ と $v$ で偏微分します。

$\frac{\partial x}{\partial u} = e^u \cos v$

$\frac{\partial x}{\partial v} = -e^u \sin v$

$\frac{\partial y}{\partial u} = e^u \sin v$

$\frac{\partial y}{\partial v} = e^u \cos v$

合成関数の微分法を使って、$\frac{\partial z}{\partial u}$ と $\frac{\partial z}{\partial v}$ を求めます。

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}$

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$

それぞれの偏導関数を代入します。

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{x}{x^2 + y^2} (e^u \cos v) + \frac{y}{x^2 + y^2} (e^u \sin v) = \frac{e^u \cos v \cdot e^u \cos v + e^u \sin v \cdot e^u \sin v}{(e^u \cos v)^2 + (e^u \sin v)^2} = \frac{e^{2u} (\cos^2 v + \sin^2 v)}{e^{2u} (\cos^2 v + \sin^2 v)} = \frac{e^{2u}}{e^{2u}} = 1$

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{x}{x^2 + y^2} (-e^u \sin v) + \frac{y}{x^2 + y^2} (e^u \cos v) = \frac{e^u \cos v (-e^u \sin v) + e^u \sin v (e^u \cos v)}{(e^u \cos v)^2 + (e^u \sin v)^2} = \frac{-e^{2u} \cos v \sin v + e^{2u} \sin v \cos v}{e^{2u} (\cos^2 v + \sin^2 v)} = \frac{0}{e^{2u}} = 0$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial z}{\partial u} = 1$

$\frac{\partial z}{\partial v} = 0$